Finite Mathematik Beispiele

$x^{3} - x^{2} - 24 x - 36$

Schritt 1

Um die Anzahl möglicher positiver Wurzeln zu bestimmen, betrachte die Vorzeichen der Koeffizienten und zähle, wie oft die Vorzeichen der Koeffizienten von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv wechseln.

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 24 x - 36$

Schritt 2

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $1$ Vorzeichenwechsel erfolgt, gibt es höchstens $1$ positive Wurzel (Vorzeichenregel von Descartes).

Positive Wurzeln: $1$

Schritt 3

Um die mögliche Anzahl negativer Wurzeln zu ermitteln, ersetze $x$ durch $- x$ und wiederhole den Vorzeichenvergleich.

$f (- x) = {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} - 24 (- x) - 36$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - {(- x)}^{2} - 24 (- x) - 36$

Schritt 4.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = - x^{3} - {(- x)}^{2} - 24 (- x) - 36$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - x^{3} - ({(- 1)}^{2} x^{2}) - 24 (- x) - 36$

Schritt 4.4

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- x) = - x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 x^{2}) - 24 (- x) - 36$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 4.4.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- x) = - x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) x^{2}) - 24 (- x) - 36$

Schritt 4.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- x) = - x^{3} + {(- 1)}^{2 + 1} x^{2} - 24 (- x) - 36$

Schritt 4.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (- x) = - x^{3} + {(- 1)}^{3} x^{2} - 24 (- x) - 36$

Schritt 4.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = - x^{3} - x^{2} - 24 (- x) - 36$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 24$ .

$f (- x) = - x^{3} - x^{2} + 24 x - 36$

Schritt 5

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $2$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $2$ negative Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen negativer Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden (z. B. $2 - 2$ ).

Negative Wurzeln: $2$ oder $0$

Schritt 6

Die mögliche Anzahl positiver Wurzeln ist $1$ und die mögliche Anzahl negativer Wurzeln ist $2$ oder $0$ .

Positive Wurzeln: $1$

Negative Wurzeln: $2$ oder $0$