Finite Mathematik Beispiele

$(y + 2) (y - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Schritt 1

Multipliziere $(y + 2) (y - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(y (y - 6) + 2 (y - 6)) (y^{2} - 4 y + 12)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(y \cdot y + y \cdot - 6 + 2 (y - 6)) (y^{2} - 4 y + 12)$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(y \cdot y + y \cdot - 6 + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Schritt 2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$(y^{2} + y \cdot - 6 + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Schritt 2.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $y$ .

$(y^{2} - 6 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$(y^{2} - 6 y + 2 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$

Schritt 2.2

Addiere $- 6 y$ und $2 y$ .

$(y^{2} - 4 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$

Schritt 3

Multipliziere $(y^{2} - 4 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + y^{2} \cdot 12 - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + y^{2} \cdot 12 - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$ .

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Schritt 4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $y^{2} \cdot 12$ und $- 12 y^{2}$ neu an.

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + 12 y^{2} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $12 y^{2}$ von $12 y^{2}$ .

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 + 0 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.1.3

Addiere $y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12$ und $0$ .

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2 + 2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$y^{4} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{4} - 4 y^{2} y - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.3

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1

Bewege $y$ .

$y^{4} - 4 (y \cdot y^{2}) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{4} - 4 (y^{1} y^{2}) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{4} - 4 y^{1 + 2} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.4

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.4.1

Bewege $y^{2}$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 (y^{2} y) - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 4.2.4.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 (y^{2} y^{1}) - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{2 + 1} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 y \cdot y - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.6

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.6.1

Bewege $y$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 y^{2} - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.8

Mutltipliziere $12$ mit $- 4$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 12 \cdot 12$

Schritt 4.2.10

Mutltipliziere $- 12$ mit $12$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 144$

Schritt 4.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 144$ .

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $- 48 y$ und $48 y$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} + 0 - 144$

Schritt 4.3.1.2

Addiere $y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2}$ und $0$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $4 y^{3}$ von $- 4 y^{3}$ .

$y^{4} - 8 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

Schritt 5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.1

Schreibe $y^{4}$ als ${(y^{2})}^{2}$ um.

${(y^{2})}^{2} - 8 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

Schritt 5.2

Schreibe $16 y^{2}$ als ${(4 y)}^{2}$ um.

${(y^{2})}^{2} - 8 y^{3} + {(4 y)}^{2} - 144$

Schritt 5.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y)$

Schritt 5.4

Schreibe das Polynom neu.

${(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y) + {(4 y)}^{2} - 144$

Schritt 5.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = y^{2}$ und $b = 4 y$ .

${(y^{2} - 4 y)}^{2} - 144$

Schritt 6

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

${(y^{2} - 4 y)}^{2} - 12^{2}$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y^{2} - 4 y$ und $b = 12$ .

$(y^{2} - 4 y + 12) (y^{2} - 4 y - 12)$

Schritt 8

Faktorisiere.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $y^{2} - 4 y - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 6, 2$

Schritt 8.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(y^{2} - 4 y + 12) ((y - 6) (y + 2))$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(y^{2} - 4 y + 12) (y - 6) (y + 2)$