Finite Mathematik Beispiele

$x - 2 y + 3 z = - 1$ , $- 2 x + y - z = 2$ , $3 x - 3 y + 2 z = - 1$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$ .

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Schritt 2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (1 \cdot 2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 (2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$1 (2 - 1 \cdot 3) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$1 (2 - 3) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$1 \cdot - 1 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot - 1 + 2 (- 2 \cdot 2 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$1 \cdot - 1 + 2 (- 4 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$1 \cdot - 1 + 2 (- 4 + 3) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $- 4$ und $3$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.5

Berechne $| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$ .

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Schritt 2.5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 (- 2 \cdot - 3 - 3 \cdot 1)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 (6 - 3 \cdot 1)$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 (6 - 3)$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3$

Schritt 2.6

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 1 - 2 + 3 \cdot 3$

Schritt 2.6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 1 - 2 + 9$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- 3 + 9$

Schritt 2.6.3

Addiere $- 3$ und $9$ .

$6$

$D = 6$

Schritt 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & - 2 & 3 \\ 2 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

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Schritt 4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.2

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$ .

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Schritt 4.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 1 (1 \cdot 2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 (2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 1 (2 - 1 \cdot 3) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 (2 - 3) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

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Schritt 4.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 1 \cdot - 1 + 2 (2 \cdot 2 - - - 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 (4 - - - 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2.1.2

Multipliziere $- - - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 (4 - 1 \cdot 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 (4 - 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ .

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Schritt 4.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (2 \cdot - 3 - (- 1 \cdot 1))$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (- 6 - (- 1 \cdot 1))$

Schritt 4.2.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (- 6 - - 1)$

Schritt 4.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (- 6 + 1)$

Schritt 4.2.4.2.2

Addiere $- 6$ und $1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot - 5$

Schritt 4.2.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot - 5$

Schritt 4.2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$1 + 6 + 3 \cdot - 5$

Schritt 4.2.5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$1 + 6 - 15$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $1$ und $6$ .

$7 - 15$

Schritt 4.2.5.3

Subtrahiere $15$ von $7$ .

$- 8$

$D_{x} = - 8$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute $6$ for $D$ and $- 8$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 8}{6}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $6$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$x = \frac{2 (- 4)}{6}$

Schritt 4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 4}{3}$

Schritt 4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{3}$

Schritt 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ - 2 & 2 & - 1 \\ 3 & - 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

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Schritt 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (2 \cdot 2 - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 (4 - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Multipliziere $- - - 1$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (4 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 (4 - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$1 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 3 + 1 (- 2 \cdot 2 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$1 \cdot 3 + 1 (- 4 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$1 \cdot 3 + 1 (- 4 + 3) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.2

Addiere $- 4$ und $3$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 (- 2 \cdot - 1 - 3 \cdot 2)$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 (2 - 3 \cdot 2)$

Schritt 5.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 (2 - 6)$

Schritt 5.2.4.2.2

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4$

Schritt 5.2.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + 1 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4$

Schritt 5.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 - 1 + 3 \cdot - 4$

Schritt 5.2.5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$3 - 1 - 12$

Schritt 5.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$2 - 12$

Schritt 5.2.5.3

Subtrahiere $12$ von $2$ .

$- 10$

$D_{y} = - 10$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $6$ for $D$ and $- 10$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 10}{6}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $6$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$y = \frac{2 (- 5)}{6}$

Schritt 5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 5}{3}$

Schritt 5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5}{3}$

Schritt 6

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Schritt 6.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 \\ - 2 & 1 & 2 \\ 3 & - 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 6.2

Find the determinant.

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Schritt 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$ .

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Schritt 6.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (1 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 2)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 (- 1 - (- 3 \cdot 2)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot 2)$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$1 (- 1 - - 6) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$1 (- 1 + 6) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$1 \cdot 5 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$ .

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Schritt 6.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 5 + 2 (- 2 \cdot - 1 - 3 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$1 \cdot 5 + 2 (2 - 3 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$1 \cdot 5 + 2 (2 - 6) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.2

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$ .

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Schritt 6.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 (- 2 \cdot - 3 - 3 \cdot 1)$

Schritt 6.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 (6 - 3 \cdot 1)$

Schritt 6.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 (6 - 3)$

Schritt 6.2.4.2.2

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 \cdot 3$

Schritt 6.2.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.5.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + 2 \cdot - 4 - 1 \cdot 3$

Schritt 6.2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$5 - 8 - 1 \cdot 3$

Schritt 6.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$5 - 8 - 3$

Schritt 6.2.5.2

Subtrahiere $8$ von $5$ .

$- 3 - 3$

Schritt 6.2.5.3

Subtrahiere $3$ von $- 3$ .

$- 6$

$D_{z} = - 6$

Schritt 6.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Schritt 6.4

Substitute $6$ for $D$ and $- 6$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{- 6}{6}$

Schritt 6.5

Dividiere $- 6$ durch $6$ .

$z = - 1$

Schritt 7

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = - \frac{4}{3}$

$y = - \frac{5}{3}$

$z = - 1$