Finite Mathematik Beispiele

$x - 2 y + 3 z = - 1$ ,

$- 2 x + y - z = 2$ ,

$3 x - 3 y + 2 z = - 1$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Write

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Schritt 2.2.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.2.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.3

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (1 \cdot 2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$1 (2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.2

Multipliziere

$- (- 3 \cdot - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$- 1$ .

$1 (2 - 1 \cdot 3) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$3$ .

$1 (2 - 3) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere

$3$ von

$2$ .

$1 \cdot - 1 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.4

Berechne

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot - 1 + 2 (- 2 \cdot 2 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$2$ .

$1 \cdot - 1 + 2 (- 4 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$- 1$ .

$1 \cdot - 1 + 2 (- 4 + 3) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.4.2.2

Addiere

$- 4$ und

$3$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.5

Berechne

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 (- 2 \cdot - 3 - 3 \cdot 1)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 3$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 (6 - 3 \cdot 1)$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$1$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 (6 - 3)$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere

$3$ von

$6$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3$

Schritt 2.6

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$- 1 + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$- 1 - 2 + 3 \cdot 3$

Schritt 2.6.1.3

Mutltipliziere

$3$ mit

$3$ .

$- 1 - 2 + 9$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere

$2$ von

$- 1$ .

$- 3 + 9$

Schritt 2.6.3

Addiere

$- 3$ und

$9$ .

$6$

$D = 6$

Schritt 3

Since the determinant is not

$0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of

$x$ by Cramer's Rule, which states that

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Replace column

$1$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$x$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & - 2 & 3 \\ 2 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Schritt 4.2.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.2

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 1 (1 \cdot 2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$- 1 (2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Multipliziere

$- (- 3 \cdot - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$- 1$ .

$- 1 (2 - 1 \cdot 3) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$3$ .

$- 1 (2 - 3) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere

$3$ von

$2$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.3

Berechne

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 1 \cdot - 1 + 2 (2 \cdot 2 - - - 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 (4 - - - 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2.1.2

Multipliziere

$- - - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 (4 - 1 \cdot 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 (4 - 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2.2

Subtrahiere

$1$ von

$4$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 4.2.4

Berechne

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (2 \cdot - 3 - (- 1 \cdot 1))$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 3$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (- 6 - (- 1 \cdot 1))$

Schritt 4.2.4.2.1.2

Multipliziere

$- (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (- 6 - - 1)$

Schritt 4.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (- 6 + 1)$

Schritt 4.2.4.2.2

Addiere

$- 6$ und

$1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot - 5$

Schritt 4.2.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot - 5$

Schritt 4.2.5.1.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$3$ .

$1 + 6 + 3 \cdot - 5$

Schritt 4.2.5.1.3

Mutltipliziere

$3$ mit

$- 5$ .

$1 + 6 - 15$

Schritt 4.2.5.2

Addiere

$1$ und

$6$ .

$7 - 15$

Schritt 4.2.5.3

Subtrahiere

$15$ von

$7$ .

$- 8$

$D_{x} = - 8$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for

$x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute

$6$ for

$D$ and

$- 8$ for

$D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 8}{6}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$- 8$ und

$6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Faktorisiere

$2$ aus

$- 8$ heraus.

$x = \frac{2 (- 4)}{6}$

Schritt 4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$6$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 4}{3}$

Schritt 4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{3}$

Schritt 5

Find the value of

$y$ by Cramer's Rule, which states that

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Replace column

$2$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$y$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ - 2 & 2 & - 1 \\ 3 & - 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Schritt 5.2.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Berechne

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (2 \cdot 2 - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$1 (4 - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Multipliziere

$- - - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$1 (4 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$1 (4 - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.2

Subtrahiere

$1$ von

$4$ .

$1 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.3

Berechne

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 3 + 1 (- 2 \cdot 2 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$2$ .

$1 \cdot 3 + 1 (- 4 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$- 1$ .

$1 \cdot 3 + 1 (- 4 + 3) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.2

Addiere

$- 4$ und

$3$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.4

Berechne

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 (- 2 \cdot - 1 - 3 \cdot 2)$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.1.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 1$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 (2 - 3 \cdot 2)$

Schritt 5.2.4.2.1.2

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$2$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 (2 - 6)$

Schritt 5.2.4.2.2

Subtrahiere

$6$ von

$2$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4$

Schritt 5.2.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$1$ .

$3 + 1 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4$

Schritt 5.2.5.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$3 - 1 + 3 \cdot - 4$

Schritt 5.2.5.1.3

Mutltipliziere

$3$ mit

$- 4$ .

$3 - 1 - 12$

Schritt 5.2.5.2

Subtrahiere

$1$ von

$3$ .

$2 - 12$

Schritt 5.2.5.3

Subtrahiere

$12$ von

$2$ .

$- 10$

$D_{y} = - 10$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for

$y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute

$6$ for

$D$ and

$- 10$ for

$D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 10}{6}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$- 10$ und

$6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Faktorisiere

$2$ aus

$- 10$ heraus.

$y = \frac{2 (- 5)}{6}$

Schritt 5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$6$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 5}{3}$

Schritt 5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5}{3}$

Schritt 6

Find the value of

$z$ by Cramer's Rule, which states that

$z = \frac{D_{z}}{D}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Replace column

$3$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$z$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 \\ - 2 & 1 & 2 \\ 3 & - 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 6.2

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Schritt 6.2.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (1 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 2)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$1 (- 1 - (- 3 \cdot 2)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Multipliziere

$- (- 3 \cdot 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$2$ .

$1 (- 1 - - 6) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 6$ .

$1 (- 1 + 6) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.2

Addiere

$- 1$ und

$6$ .

$1 \cdot 5 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3

Berechne

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 5 + 2 (- 2 \cdot - 1 - 3 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 1$ .

$1 \cdot 5 + 2 (2 - 3 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.1.2

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$2$ .

$1 \cdot 5 + 2 (2 - 6) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.2

Subtrahiere

$6$ von

$2$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.4

Berechne

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 (- 2 \cdot - 3 - 3 \cdot 1)$

Schritt 6.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.2.1.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 3$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 (6 - 3 \cdot 1)$

Schritt 6.2.4.2.1.2

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$1$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 (6 - 3)$

Schritt 6.2.4.2.2

Subtrahiere

$3$ von

$6$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 \cdot 3$

Schritt 6.2.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1.1

Mutltipliziere

$5$ mit

$1$ .

$5 + 2 \cdot - 4 - 1 \cdot 3$

Schritt 6.2.5.1.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 4$ .

$5 - 8 - 1 \cdot 3$

Schritt 6.2.5.1.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$3$ .

$5 - 8 - 3$

Schritt 6.2.5.2

Subtrahiere

$8$ von

$5$ .

$- 3 - 3$

Schritt 6.2.5.3

Subtrahiere

$3$ von

$- 3$ .

$- 6$

$D_{z} = - 6$

Schritt 6.3

Use the formula to solve for

$z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Schritt 6.4

Substitute

$6$ for

$D$ and

$- 6$ for

$D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{- 6}{6}$

Schritt 6.5

Dividiere

$- 6$ durch

$6$ .

$z = - 1$

Schritt 7

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = - \frac{4}{3}$

$y = - \frac{5}{3}$

$z = - 1$