Finite Mathematik Beispiele

$3 {(- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3})}^{2}$ als $(- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}) (- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3})$ um.

$3 ((- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}) (- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}))$

Schritt 2

Multipliziere $(- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}) (- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- \frac{2 y}{3} (- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}) + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}))$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- \frac{2 y}{3} (- \frac{2 y}{3}) - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}))$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- \frac{2 y}{3} (- \frac{2 y}{3}) - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $- \frac{2 y}{3} (- \frac{2 y}{3})$ .

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 (1 \frac{2 y}{3} \frac{2 y}{3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{2 y}{3}$ mit $1$ .

$3 (\frac{2 y}{3} \cdot \frac{2 y}{3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{2 y}{3}$ mit $\frac{2 y}{3}$ .

$3 (\frac{2 y (2 y)}{3 \cdot 3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 3.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 (\frac{4 y \cdot y}{3 \cdot 3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 3.1.1.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$3 (\frac{4 (y^{1} y)}{3 \cdot 3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 3.1.1.6

Potenziere $y$ mit $1$ .

$3 (\frac{4 (y^{1} y^{1})}{3 \cdot 3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 3.1.1.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (\frac{4 y^{1 + 1}}{3 \cdot 3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 3.1.1.8

Addiere $1$ und $1$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{3 \cdot 3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 3.1.1.9

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $- \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2 y}{3}$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{2 y}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{2 y}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $\frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3})$ .

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2 y}{3}$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{2 y}{9} - \frac{2 y}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{2 y}{9} - \frac{2 y}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{2 y}{9} - \frac{2 y}{9} + \frac{1}{3 \cdot 3})$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{2 y}{9} - \frac{2 y}{9} + \frac{1}{9})$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\frac{2 y}{9}$ von $- \frac{2 y}{9}$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - 2 \frac{2 y}{9} + \frac{1}{9})$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Multipliziere $- 2 \frac{2 y}{9}$ .

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2 y}{9}$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} + \frac{- 2 (2 y)}{9} + \frac{1}{9})$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} + \frac{- 4 y}{9} + \frac{1}{9})$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{4 y}{9} + \frac{1}{9})$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \frac{4 y^{2}}{9} + 3 (- \frac{4 y}{9}) + 3 (\frac{1}{9})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$3 \frac{4 y^{2}}{3 (3)} + 3 (- \frac{4 y}{9}) + 3 (\frac{1}{9})$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{4 y^{2}}{3 \cdot 3} + 3 (- \frac{4 y}{9}) + 3 (\frac{1}{9})$

Schritt 6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 y^{2}}{3} + 3 (- \frac{4 y}{9}) + 3 (\frac{1}{9})$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 y}{9}$ in den Zähler.

$\frac{4 y^{2}}{3} + 3 \frac{- 4 y}{9} + 3 (\frac{1}{9})$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{4 y^{2}}{3} + 3 \frac{- 4 y}{3 (3)} + 3 (\frac{1}{9})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{2}}{3} + 3 \frac{- 4 y}{3 \cdot 3} + 3 (\frac{1}{9})$

Schritt 6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 y^{2}}{3} + \frac{- 4 y}{3} + 3 (\frac{1}{9})$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{4 y^{2}}{3} + \frac{- 4 y}{3} + 3 \frac{1}{3 (3)}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{2}}{3} + \frac{- 4 y}{3} + 3 \frac{1}{3 \cdot 3}$

Schritt 6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 y^{2}}{3} + \frac{- 4 y}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 y^{2}}{3} - \frac{4 y}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 8

Klammere den ggT $\frac{1}{3}$ aus $\frac{4 y^{2}}{3} - \frac{4 y}{3} + \frac{1}{3}$ aus.

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Schritt 8.1

Klammere den ggT $\frac{1}{3}$ aus jedem Term des Polynoms aus.

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Schritt 8.1.1

Klammere den ggT $\frac{1}{3}$ aus dem Ausdruck $\frac{4 y^{2}}{3}$ aus.

$\frac{1 (4 y^{2})}{3} - \frac{4 y}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 8.1.2

Klammere den ggT $\frac{1}{3}$ aus dem Ausdruck $- \frac{4 y}{3}$ aus.

$\frac{1 (4 y^{2})}{3} + \frac{1 (- 4 y)}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 8.1.3

Klammere den ggT $\frac{1}{3}$ aus dem Ausdruck $\frac{1}{3}$ aus.

$\frac{1 (4 y^{2})}{3} + \frac{1 (- 4 y)}{3} + \frac{1 (1)}{3}$

Schritt 8.2

Da alle Terme einen gemeinsamen Faktor $\frac{1}{3}$ besitzen, kann dieser aus jedem Term herausfaktorisiert werden.

$\frac{1 (4 y^{2} - 4 y + 1)}{3}$

Schritt 9

Das Polynom kann mit der angegebenen Methode nicht faktorisiert werden. Versuche eine andere Methode, oder, wenn du nicht sicher bist, wähle Faktorisieren.

Das Polynom kann mit der angegebenen Methode nicht faktorisiert werden.