Finite Mathematik Beispiele

$(\frac{\frac{25 k^{2} - 10 k - 24}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}}) \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 25 \cdot - 24 = - 600$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 k$ heraus.

$\frac{\frac{25 k^{2} - 10 (k) - 24}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $- 10$ um als $20$ plus $- 30$

$\frac{\frac{25 k^{2} + (20 - 30) k - 24}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{25 k^{2} + 20 k - 30 k - 24}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{\frac{(25 k^{2} + 20 k) - 30 k - 24}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{\frac{5 k (5 k + 4) - 6 (5 k + 4)}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 k + 4$ .

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 2

Faktorisiere $k$ aus $k^{2} + 7 k$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $k$ aus $k^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k \cdot k + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $k$ aus $7 k$ heraus.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k \cdot k + k \cdot 7}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $k$ aus $k \cdot k + k \cdot 7$ heraus.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Faktorisiere $k$ aus $k^{3} + 4 k^{2} - 21 k$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Faktorisiere $k$ aus $k^{3}$ heraus.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k \cdot k^{2} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $k$ aus $4 k^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k \cdot k^{2} + k (4 k) - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $k$ aus $- 21 k$ heraus.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k \cdot k^{2} + k (4 k) + k \cdot - 21}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $k$ aus $k \cdot k^{2} + k (4 k)$ heraus.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k^{2} + 4 k) + k \cdot - 21}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $k$ aus $k (k^{2} + 4 k) + k \cdot - 21$ heraus.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k^{2} + 4 k - 21)}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $k^{2} + 4 k - 21$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 21$ und deren Summe $4$ ist.

$- 3, 7$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k ((k - 3) (k + 7))}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 4

Faktorisiere $k^{2} - 6 k + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 4, - 2$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 16 = - 80$ und deren Summe gleich $b = - 16$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 16$ aus $- 16 k$ heraus.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{5 k^{2} - 16 (k) - 16}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $- 16$ um als $4$ plus $- 20$

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{5 k^{2} + (4 - 20) k - 16}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{5 k^{2} + 4 k - 20 k - 16}$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k^{2} + 4 k) - 20 k - 16}$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{k (5 k + 4) - 4 (5 k + 4)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 k + 4$ .

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)} \cdot \frac{k (k - 3) (k + 7)}{5 k - 6} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 k - 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Faktorisiere $5 k - 6$ aus $(5 k + 4) (5 k - 6)$ heraus.

$\frac{(5 k - 6) (5 k + 4)}{k (k + 7)} \cdot \frac{k (k - 3) (k + 7)}{5 k - 6} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 k - 6) (5 k + 4)}{k (k + 7)} \cdot \frac{k (k - 3) (k + 7)}{5 k - 6} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Schritt 7.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 k + 4}{k (k + 7)} (k (k - 3) (k + 7)) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k (k + 7)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Faktorisiere $k (k + 7)$ aus $k (k - 3) (k + 7)$ heraus.

$\frac{5 k + 4}{k (k + 7)} (k (k + 7) (k - 3)) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 k + 4}{k (k + 7)} (k (k + 7) (k - 3)) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(5 k + 4) (k - 3) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 k + 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(5 k + 4) (k - 3) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Schritt 7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$(k - 3) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{k - 4}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(k - 3) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{k - 4}$

Schritt 7.4.2

Dividiere $k - 2$ durch $1$ .

$(k - 3) \cdot (k - 2)$

Schritt 8

Multipliziere $(k - 3) (k - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k (k - 2) - 3 (k - 2)$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$k \cdot k + k \cdot - 2 - 3 (k - 2)$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$k \cdot k + k \cdot - 2 - 3 k - 3 \cdot - 2$

Schritt 9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$k^{2} + k \cdot - 2 - 3 k - 3 \cdot - 2$

Schritt 9.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $k$ .

$k^{2} - 2 \cdot k - 3 k - 3 \cdot - 2$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$k^{2} - 2 k - 3 k + 6$

Schritt 9.2

Subtrahiere $3 k$ von $- 2 k$ .

$k^{2} - 5 k + 6$