Finite Mathematik Beispiele

$x^{6} + 72 x^{3} + 512$

Schritt 1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} + 72 x^{3} + 512$

Schritt 2

Es sei $u = x^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{3}$ .

$u^{2} + 72 u + 512$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} + 72 u + 512$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $512$ und deren Summe $72$ ist.

$8, 64$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u + 8) (u + 64)$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$(x^{3} + 8) (x^{3} + 64)$

Schritt 5

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$(x^{3} + 2^{3}) (x^{3} + 64)$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) (x^{3} + 64)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) (x^{3} + 64)$

Schritt 7.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x^{3} + 64)$

Schritt 8

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x^{3} + 4^{3})$

Schritt 9

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}))$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}))$

Schritt 10.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 16))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)$