Finite Mathematik Beispiele

Faktor 3x^4-37x^3+111x^2-45x+4
Schritt 1
Faktorisiere mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form , wobei ein Teiler der Konstanten und ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Schritt 1.2
Ermittle jede Kombination von . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
Schritt 1.3
Setze ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich , folglich ist eine Wurzel des Polynoms.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Setze in das Polynom ein.
Schritt 1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.4
Potenziere mit .
Schritt 1.3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.6
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.7
Potenziere mit .
Schritt 1.3.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.9
Addiere und .
Schritt 1.3.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.11
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.12
Addiere und .
Schritt 1.4
Da eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.
Schritt 1.5
Dividiere durch .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
--+-+
Schritt 1.5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
--+-+
Schritt 1.5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
--+-+
+-
Schritt 1.5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
--+-+
-+
Schritt 1.5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
--+-+
-+
-
Schritt 1.5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
--+-+
-+
-+
Schritt 1.5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-
--+-+
-+
-+
Schritt 1.5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-
--+-+
-+
-+
-+
Schritt 1.5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-
--+-+
-+
-+
+-
Schritt 1.5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-
--+-+
-+
-+
+-
+
Schritt 1.5.11
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
-
--+-+
-+
-+
+-
+-
Schritt 1.5.12
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-+
--+-+
-+
-+
+-
+-
Schritt 1.5.13
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-+
--+-+
-+
-+
+-
+-
+-
Schritt 1.5.14
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-+
--+-+
-+
-+
+-
+-
-+
Schritt 1.5.15
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-+
--+-+
-+
-+
+-
+-
-+
-
Schritt 1.5.16
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
-+
--+-+
-+
-+
+-
+-
-+
-+
Schritt 1.5.17
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-+-
--+-+
-+
-+
+-
+-
-+
-+
Schritt 1.5.18
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-+-
--+-+
-+
-+
+-
+-
-+
-+
-+
Schritt 1.5.19
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-+-
--+-+
-+
-+
+-
+-
-+
-+
+-
Schritt 1.5.20
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-+-
--+-+
-+
-+
+-
+-
-+
-+
+-
Schritt 1.5.21
Da der Rest gleich ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.
Schritt 1.6
Schreibe als eine Menge von Faktoren.
Schritt 2
Faktorisiere mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Faktorisiere mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form , wobei ein Teiler der Konstanten und ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Schritt 2.1.2
Ermittle jede Kombination von . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
Schritt 2.1.3
Setze ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich , folglich ist eine Wurzel des Polynoms.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.3.1
Setze in das Polynom ein.
Schritt 2.1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 2.1.3.3
Potenziere mit .
Schritt 2.1.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.3.5
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.3.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.3.7
Addiere und .
Schritt 2.1.3.8
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.4
Da eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.
Schritt 2.1.5
Dividiere durch .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
--+-
Schritt 2.1.5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
--+-
Schritt 2.1.5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
--+-
+-
Schritt 2.1.5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
--+-
-+
Schritt 2.1.5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
--+-
-+
-
Schritt 2.1.5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
--+-
-+
-+
Schritt 2.1.5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-
--+-
-+
-+
Schritt 2.1.5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-
--+-
-+
-+
-+
Schritt 2.1.5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-
--+-
-+
-+
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Schritt 2.1.5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
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--+-
-+
-+
+-
+
Schritt 2.1.5.11
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
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-+
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+-
Schritt 2.1.5.12
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
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Schritt 2.1.5.13
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-+
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Schritt 2.1.5.14
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-+
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-+
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+-
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Schritt 2.1.5.15
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
-+
Schritt 2.1.5.16
Da der Rest gleich ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.
Schritt 2.1.6
Schreibe als eine Menge von Faktoren.
Schritt 2.2
Entferne unnötige Klammern.