Finite Mathematik Beispiele

$3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$

Schritt 1

Faktorisiere $3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Schritt 1.3

Setze $0.\overline{3}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.\overline{3}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $0.\overline{3}$ in das Polynom ein.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{4} - 37 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Schritt 1.3.2

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $4$ .

$3 \cdot 0.01234567 - 37 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $0.01234567$ .

$0.\overline{037} - 37 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Schritt 1.3.4

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $3$ .

$0.\overline{037} - 37 \cdot 0.\overline{037} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 37$ mit $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{037} - 1.37037037 + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Schritt 1.3.6

Subtrahiere $1.37037037$ von $0.\overline{037}$ .

$- 1.33333333 + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Schritt 1.3.7

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $2$ .

$- 1.33333333 + 111 \cdot 0.\overline{1} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $111$ mit $0.\overline{1}$ .

$- 1.33333333 + 12.33333333 - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Schritt 1.3.9

Addiere $- 1.33333333$ und $12.33333333$ .

$11 - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $- 45$ mit $0.\overline{3}$ .

$11 - 15 + 4$

Schritt 1.3.11

Subtrahiere $15$ von $11$ .

$- 4 + 4$

Schritt 1.3.12

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $0.\overline{3}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $3 x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4}{3 x - 1}$

Schritt 1.5

Dividiere $3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$ durch $3 x - 1$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 36 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $99 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $99 x^{2} - 33 x$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

Schritt 1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

Schritt 1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 12 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

Schritt 1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

$12 x$

$4$

Schritt 1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 12 x + 4$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

$12 x$

$4$

Schritt 1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

$12 x$

$4$

$0$

Schritt 1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$

Schritt 1.6

Schreibe $3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$ als eine Menge von Faktoren.

$(3 x - 1) (x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4)$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 2.1.3

Setze $4$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $4$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Setze $4$ in das Polynom ein.

$4^{3} - 12 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 4$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$64 - 12 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 4$

Schritt 2.1.3.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$64 - 12 \cdot 16 + 33 \cdot 4 - 4$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $16$ .

$64 - 192 + 33 \cdot 4 - 4$

Schritt 2.1.3.5

Subtrahiere $192$ von $64$ .

$- 128 + 33 \cdot 4 - 4$

Schritt 2.1.3.6

Mutltipliziere $33$ mit $4$ .

$- 128 + 132 - 4$

Schritt 2.1.3.7

Addiere $- 128$ und $132$ .

$4 - 4$

Schritt 2.1.3.8

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $4$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 4$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4}{x - 4}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ durch $x - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$32 x$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x^{2} + 32 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$
							+	$x$	-	$4$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 4$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$
							-	$x$	+	$4$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$
							-	$x$	+	$4$
										$0$

Schritt 2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 8 x + 1$

Schritt 2.1.6

Schreibe $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ als eine Menge von Faktoren.

$(3 x - 1) ((x - 4) (x^{2} - 8 x + 1))$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x - 1) (x - 4) (x^{2} - 8 x + 1)$