Finite Mathematik Beispiele

$p = \frac{12 z + 30}{2 z} \div \frac{16 z + 40}{4 z}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ nicht definiert ist.

$x = - \frac{5}{2}, x = 0$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 x + 30$ und $2$ .

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 2 \cdot 15}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (6 x) + 2 (15)$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Schritt 3.1.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 (x)} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Schritt 3.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Schritt 3.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16 x + 40$ und $4$ .

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 40}{4 x}$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 4 \cdot 10}{4 x}$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x) + 4 (10)$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Schritt 3.1.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 (x)}$

Schritt 3.1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Schritt 3.1.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 x + 10}{x}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Schritt 3.3

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Schritt 3.4.1.2

Dividiere $6$ durch $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Schritt 3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Schritt 3.4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Schritt 3.4.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Schritt 3.4.5

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Schritt 3.4.6

Ziehe den Term $15$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{6 + 15 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Schritt 3.5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Schritt 3.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Schritt 3.7

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Schritt 3.8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Schritt 3.8.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Schritt 3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Schritt 3.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{1}}$

Schritt 3.8.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 3.8.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 3.8.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 3.8.6

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 3.9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 3.10

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.10.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Schritt 3.10.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.10.2.1

Dividiere $6 + 15 \cdot 0$ durch $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Schritt 3.10.2.2

Dividiere $4 + 10 \cdot 0$ durch $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{4 + 10 \cdot 0}$

Schritt 3.10.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 + 15 \cdot 0$ und $4 + 10 \cdot 0$ .

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Schritt 3.10.2.3.1

Stelle die Terme um.

$\frac{6 + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Schritt 3.10.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3) + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Schritt 3.10.2.3.3

Faktorisiere $2$ aus $0 \cdot 15$ heraus.

$\frac{2 (3) + 2 (0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Schritt 3.10.2.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (0 \cdot 15)$ heraus.

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Schritt 3.10.2.3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.2.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 10 \cdot 0}$

Schritt 3.10.2.3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $10 \cdot 0$ heraus.

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 2 (5 \cdot 0)}$

Schritt 3.10.2.3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (5 \cdot 0)$ heraus.

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Schritt 3.10.2.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Schritt 3.10.2.3.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + 0 \cdot 15}{2 + 5 \cdot 0}$

Schritt 3.10.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $15$ .

$\frac{3 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

Schritt 3.10.2.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{3}{2 + 5 \cdot 0}$

Schritt 3.10.2.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.10.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{3}{2 + 0}$

Schritt 3.10.2.5.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{3}{2}$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = \frac{3}{2}$

Schritt 5

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Horizontale Asymptoten: $y = \frac{3}{2}$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7