Finite Mathematik Beispiele

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 4 y^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $4 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 - 4 y^{2} = 0$

Schritt 1.1.2

Bewege $- 63$ .

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 4 y^{2} - 63 = 0$

Schritt 1.1.3

Bewege $- 24 y$ .

$9 x^{2} - 18 x - 4 y^{2} - 24 y - 63 = 0$

Schritt 1.1.4

Bewege $- 18 x$ .

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 0$

Schritt 1.2

Addiere $63$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$

Schritt 1.3

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 x^{2} - 18 x$ an.

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Schritt 1.3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Schritt 1.3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $2$ .

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Schritt 1.3.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.3.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Schritt 1.3.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.3.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 9}{9}$

Schritt 1.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $9$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Schritt 1.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Schritt 1.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 1.3.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.2.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Schritt 1.3.4.2.1.3

Dividiere $324$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Schritt 1.3.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$e = 0 - 9$

Schritt 1.3.4.2.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$e = - 9$

Schritt 1.3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ ein.

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Schritt 1.4

Setze $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ für $9 x^{2} - 18 x$ ein in der Gleichung $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 - 4 y^{2} - 24 y = 63$

Schritt 1.5

Bringe $- 9$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $9$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} - 24 y = 63 + 9$

Schritt 1.6

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 4 y^{2} - 24 y$ an.

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Schritt 1.6.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Schritt 1.6.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.6.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.6.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $2$ .

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Schritt 1.6.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.6.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 4)}$

Schritt 1.6.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.6.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 12}{- 4}$

Schritt 1.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $- 4$ .

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Schritt 1.6.3.2.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{- 4 (3)}{- 4}$

Schritt 1.6.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.3.2.2.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Schritt 1.6.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Schritt 1.6.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{1}$

Schritt 1.6.3.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$d = 3$

Schritt 1.6.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.6.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.4.2.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.6.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

Schritt 1.6.4.2.1.3

Dividiere $576$ durch $- 16$ .

$e = 0 - - 36$

Schritt 1.6.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Schritt 1.6.4.2.2

Addiere $0$ und $36$ .

$e = 36$

Schritt 1.6.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ ein.

$- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$

Schritt 1.7

Setze $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ für $- 4 y^{2} - 24 y$ ein in der Gleichung $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} + 36 = 63 + 9$

Schritt 1.8

Bringe $36$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $36$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 63 + 9 - 36$

Schritt 1.9

Vereinfache $63 + 9 - 36$ .

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Schritt 1.9.1

Addiere $63$ und $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 72 - 36$

Schritt 1.9.2

Subtrahiere $36$ von $72$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36$

Schritt 1.10

Teile jeden Term durch $36$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Schritt 1.11

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 1$

Schritt 4

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Schritt 5

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Schritt 5.2

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{2} - 3$

Schritt 5.2.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2} - 3$

Schritt 5.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3$

Schritt 5.2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 6}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Subtrahiere $6$ von $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

Schritt 5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$

Schritt 6

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Schritt 6.2

Vereinfache $- \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Schritt 6.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Schritt 6.2.1.4

Multipliziere $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - 3$

Schritt 6.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Schritt 6.2.1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Schritt 6.2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 6}{2}$

Schritt 6.2.5.2

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 6.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 7

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 8

Die Asymptoten sind $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$ und $y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$ .

Asymptoten: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 9