Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1})$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1})$ als Gleichung.

$y = (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1})$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{e^{3 y}}{e^{3 y} + 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{e^{3 y}}{e^{3 y} + 1} = x$ um.

$\frac{e^{3 y}}{e^{3 y} + 1} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $e^{3 y} + 1$ .

$\frac{e^{3 y}}{e^{3 y} + 1} (e^{3 y} + 1) = x (e^{3 y} + 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 y} + 1$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{3 y}}{e^{3 y} + 1} (e^{3 y} + 1) = x (e^{3 y} + 1)$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{3 y} = x (e^{3 y} + 1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $x (e^{3 y} + 1)$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{3 y} = x e^{3 y} + x \cdot 1$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{3 y} = x e^{3 y} + x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x e^{3 y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{3 y} - x e^{3 y} = x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $e^{3 y}$ aus $e^{3 y} - x e^{3 y}$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$e^{3 y} \cdot 1 - x e^{3 y} = x$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $e^{3 y}$ aus $- x e^{3 y}$ heraus.

$e^{3 y} \cdot 1 + e^{3 y} (- x) = x$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $e^{3 y}$ aus $e^{3 y} \cdot 1 + e^{3 y} (- x)$ heraus.

$e^{3 y} (1 - x) = x$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 y} (1 - x) = x$ durch $1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 y} (1 - x) = x$ durch $1 - x$ .

$\frac{e^{3 y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{3 y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Dividiere $e^{3 y}$ durch $1$ .

$e^{3 y} = \frac{x}{1 - x}$

Schritt 3.4.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{3 y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Schritt 3.4.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.5.1

Zerlege $\ln (e^{3 y})$ durch Herausziehen von $3 y$ aus dem Logarithmus.

$3 y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Schritt 3.4.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$3 y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Schritt 3.4.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 y = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Schritt 3.4.6

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \ln (\frac{x}{1 - x})$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \ln (\frac{x}{1 - x})$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$

Schritt 3.4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$

Schritt 3.4.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \frac{\ln (\frac{\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}}{1 - (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1})})}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (\frac{\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.5.1

Schreibe $e^{3 x}$ als ${(e^{x})}^{3}$ um.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{{(e^{x})}^{3} + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.5.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{{(e^{x})}^{3} + 1^{3}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.5.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = e^{x}$ und $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) ({(e^{x})}^{2} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.2.5.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.5.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{x \cdot 2} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.5.4.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} + 1^{2})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.5.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} + 1)} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.5.4.4

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.6.1

Schreibe $e^{3 x}$ als ${(e^{x})}^{3}$ um.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{{(e^{x})}^{3} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.6.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{{(e^{x})}^{3} + 1^{3}}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.6.3

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) ({(e^{x})}^{2} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.6.4

Vereinfache.

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Schritt 5.2.6.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.6.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{x \cdot 2} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.6.4.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.6.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} + 1^{2})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.6.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} + 1)}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.6.4.4

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.7.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.7.3.1

Multipliziere $(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{x} e^{2 x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x}) + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.7.3.2.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.7.3.2.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{x + 2 x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x}) + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.2.1.2

Addiere $x$ und $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x}) + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.2.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} + e^{x} (- e^{x}) + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{x} e^{x} + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.2.4

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.7.3.2.4.1

Bewege $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - (e^{x} e^{x}) + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{x + x} + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.2.4.3

Addiere $x$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{2 x} + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.2.5

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.2.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x} + 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.2.7

Mutltipliziere $- e^{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x} + 1 - e^{x} - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{3 x} + e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x} + 1 - e^{x}$ .

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Schritt 5.2.7.3.3.1

Addiere $- e^{2 x}$ und $e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} + 0 + 1 - e^{x} - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.3.2

Addiere $e^{3 x} + e^{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} + 1 - e^{x} - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.3.3

Subtrahiere $e^{x}$ von $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + 0 + 1 - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.3.4

Addiere $e^{3 x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + 1 - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.4

Subtrahiere $e^{3 x}$ von $e^{3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.7.3.5

Addiere $0$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.8.1

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x} \cdot 1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) (\frac{1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})})})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.8.2

Mutltipliziere $e^{3 x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) (\frac{1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})})})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.9

Faktorisiere $\frac{1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}$ aus $\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) \frac{1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({((e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) (\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}))}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})$ .

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Schritt 5.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({((e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) (\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}))}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(e^{3 x})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.11

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{3 x})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.2.11.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln (e^{3 x (\frac{1}{3})})$

Schritt 5.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln (e^{3 (x) (\frac{1}{3})})$

Schritt 5.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln (e^{3 x (\frac{1}{3})})$

Schritt 5.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.2.12

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = x \ln (e)$

Schritt 5.2.13

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = x \cdot 1$

Schritt 5.2.14

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})}}{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})} + 1}$

Schritt 5.3.3

Entferne die Klammern.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})}}{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})} + 1}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})}}{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})} + 1}$

Schritt 5.3.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - x})}}{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})} + 1}$

Schritt 5.3.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})} + 1}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.5.1

Schreibe $e^{3 \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}}$ als ${(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{3}$ um.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{{(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{3} + 1}$

Schritt 5.3.5.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{{(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{3} + 1^{3}}$

Schritt 5.3.5.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}}$ und $b = 1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} + 1) ({(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 5.3.5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.3.5.4.1

Schreibe $\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$ als $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ um.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x}{1 - x})} + 1) ({(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 5.3.5.4.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(e^{\ln ({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}})} + 1) ({(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 5.3.5.4.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}} + 1) ({(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 5.3.5.4.4

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{1 - x}$ an.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 5.3.5.4.5

Schreibe $\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$ als $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ um.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({(e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x}{1 - x})})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 5.3.5.4.6

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({(e^{\ln ({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}})})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 5.3.5.4.7

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 5.3.5.4.8

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.5.4.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3} \cdot 2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 5.3.5.4.8.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{2}{3}} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 5.3.5.4.9

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{1 - x}$ an.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 5.3.5.4.10

Schreibe $\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$ als $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ um.

Schritt 5.3.5.4.11

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

Schritt 5.3.5.4.12

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - {(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 5.3.5.4.13

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{1 - x}$ an.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 5.3.5.4.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1^{2})}$

Schritt 5.3.5.4.15

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1)}$

Schritt 5.3.5.4.16

Stelle die Terme um.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} + 1 - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})}$

Schritt 5.3.5.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} + 1 - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})}$

Schritt 5.3.5.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} + 1 - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})}$

Schritt 5.3.5.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})}$

Schritt 5.3.5.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})}$

Schritt 5.3.5.9

Um $- \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

Schritt 5.3.5.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.5.10.1

Mutltipliziere $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

Schritt 5.3.5.10.2

Multipliziere ${(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.5.10.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Schritt 5.3.5.10.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

Schritt 5.3.5.10.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

Schritt 5.3.5.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 5.3.5.12

Stelle die Terme um.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.7.1

Multipliziere ${(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.7.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Schritt 5.3.7.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

Schritt 5.3.7.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

Schritt 5.3.7.1.4

Dividiere $3$ durch $3$ .

Schritt 5.3.7.2

Vereinfache ${(1 - x)}^{1}$ .

Schritt 5.3.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 5.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 5.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = x (\frac{1}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})})$

Schritt 5.3.10

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 5.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 5.3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) - 1 (- x^{\frac{2}{3}}) + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 5.3.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) - 1 (- x^{\frac{2}{3}})$ heraus.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}) + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 5.3.14

Faktorisiere $- 1$ aus ${(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}) - 1 (- {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}))}$

Schritt 5.3.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}) - 1 (- {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})$ heraus.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}))}$

Schritt 5.3.16

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.16.1

Schreibe $- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})$ als $- 1 (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})$ um.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- 1 (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}))}$

Schritt 5.3.16.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = - \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$