Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ als Gleichung.

$y = \sqrt[3]{x^{7}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{y^{7}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{y^{7}} = x$ um.

$\sqrt[3]{y^{7}} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{y^{7}}}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y^{7}}$ als $y^{\frac{7}{3}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{7}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{7}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{7}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{7}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{7} = x^{3}$

Schritt 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[7]{x^{3}}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(\sqrt[3]{x^{7}})}^{3}}$

Schritt 5.2.3

Schreibe $x^{7}$ als ${(x^{2})}^{3} x$ um.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{\sqrt[3]{x^{6} x}}^{3}}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{2})}^{3}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} x}}^{3}}$

Schritt 5.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(x^{2} \sqrt[3]{x})}^{3}}$

Schritt 5.2.5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.5.1

Wende die Produktregel auf $x^{2} \sqrt[3]{x}$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(x^{2})}^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Schritt 5.2.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{2 \cdot 3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Schritt 5.2.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Schritt 5.2.6

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 5.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 5.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

Schritt 5.2.6.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

Schritt 5.2.7

Multipliziere $x^{6}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.7.1

Mutltipliziere $x^{6}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

Schritt 5.2.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6 + 1}}$

Schritt 5.2.7.2

Addiere $6$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Schritt 5.2.8

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[7]{x^{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{{(\sqrt[7]{x^{3}})}^{7}}$

Schritt 5.3.3

Schreibe ${\sqrt[7]{x^{3}}}^{7}$ als $x^{3}$ um.

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Schritt 5.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{{(x^{\frac{3}{7}})}^{7}}$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{7} \cdot 7}}$

Schritt 5.3.3.3

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3 \cdot 7}{7}}}$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{21}{7}}}$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $7$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $7$ aus $21$ heraus.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7}}}$

Schritt 5.3.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.5.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7 (1)}}}$

Schritt 5.3.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7 \cdot 1}}}$

Schritt 5.3.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{1}}}$

Schritt 5.3.3.5.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.3.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$