Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ als Gleichung.

$y = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $y - 8$ .

$(y - 8) (x) = (\frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8}) (y - 8)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y x - 8 x = (\frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8}) (y - 8)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 8$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y x - 8 x = \frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8} (y - 8)$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y x - 8 x = \sqrt{2 y + 3}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{2 y + 3} = y x - 8 x$ um.

$\sqrt{2 y + 3} = y x - 8 x$

Schritt 3.4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 y + 3}}^{2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 y + 3}$ als ${(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Vereinfache ${({(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Schritt 3.4.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Schritt 3.4.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 y + 3)}^{1} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Vereinfache.

$2 y + 3 = {(y x - 8 x)}^{2}$

Schritt 3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.3.1

Vereinfache ${(y x - 8 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.3.1.1

Schreibe ${(y x - 8 x)}^{2}$ als $(y x - 8 x) (y x - 8 x)$ um.

$2 y + 3 = (y x - 8 x) (y x - 8 x)$

Schritt 3.4.3.3.1.2

Multipliziere $(y x - 8 x) (y x - 8 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y + 3 = y x (y x - 8 x) - 8 x (y x - 8 x)$

Schritt 3.4.3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y + 3 = y x (y x) + y x (- 8 x) - 8 x (y x - 8 x)$

Schritt 3.4.3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y + 3 = y x (y x) + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.3.1.3.1.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.3.1.3.1.1.1

Bewege $y$ .

$2 y + 3 = y \cdot y x \cdot x + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 y + 3 = y^{2} x \cdot x + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} (x \cdot x) + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x \cdot x - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.3.1.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y (x \cdot x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.3.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 (x \cdot x) y - 8 x (- 8 x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 x (- 8 x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 \cdot - 8 x \cdot x$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.3.1.3.1.7.1

Bewege $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 \cdot - 8 (x \cdot x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 \cdot - 8 x^{2}$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.8

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y + 64 x^{2}$

Schritt 3.4.3.3.1.3.2

Subtrahiere $8 x^{2} y$ von $- 8 y x^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.3.1.3.2.1

Bewege $y$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 x^{2} y - 8 x^{2} y + 64 x^{2}$

Schritt 3.4.3.3.1.3.2.2

Subtrahiere $8 x^{2} y$ von $- 8 x^{2} y$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2}$

Schritt 3.4.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.4.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2} = 2 y + 3$

Schritt 3.4.4.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2} - 2 y = 3$

Schritt 3.4.4.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2} - 2 y - 3 = 0$

Schritt 3.4.4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4.4.5

Setze die Werte $a = x^{2}$ , $b = - 16 x^{2} - 2$ und $c = 64 x^{2} - 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (- 16 x^{2} - 2) \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 16 x^{2}) + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.5

Es sei $u = x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ .

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Schritt 3.4.4.6.5.1

Schreibe ${(- 16 x^{2} - 2)}^{2}$ als $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ um.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.5.2

Multipliziere $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.4.6.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2} - 2) - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.4.6.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.6.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.5.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.4.6.5.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.5.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.5.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.5.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.5.3.2

Addiere $32 x^{2}$ und $32 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.6

Faktorisiere $4$ aus $256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u$ heraus.

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Schritt 3.4.4.6.6.1

Faktorisiere $4$ aus $256 x^{4}$ heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.6.2

Faktorisiere $4$ aus $64 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) - 4 u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2})$ heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1)$ heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - u)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.7

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.8

Vereinfache.

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Schritt 3.4.4.6.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.6.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} (64 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.8.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.8.1.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.8.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.4.6.8.1.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 (x^{2} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.8.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2 + 2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.8.1.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.8.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4}) - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.8.1.6

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.8.1.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2}$ .

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Schritt 3.4.4.6.8.2.1

Subtrahiere $64 x^{4}$ von $64 x^{4}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 0 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.8.2.2

Addiere $16 x^{2} + 1$ und $0$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.8.3

Addiere $16 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.9

Schreibe $4 (19 x^{2} + 1)$ als $2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})$ um.

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Schritt 3.4.4.6.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.9.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1^{2}}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.4.4.7.1

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16 x^{2} + 2 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ und $2$ .

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Schritt 3.4.4.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.7.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 \cdot 1 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.7.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 x^{2}) + 2 (1)$ heraus.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.7.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ heraus.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) + 2 (\sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.7.2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 x^{2} + 1) + 2 (\sqrt{19 x^{2} + 1})$ heraus.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.7.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.4.7.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 (x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.7.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.4.4.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 16 x^{2}) + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.5

Es sei $u = x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ .

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Schritt 3.4.4.8.1.5.1

Schreibe ${(- 16 x^{2} - 2)}^{2}$ als $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ um.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.5.2

Multipliziere $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.4.8.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2} - 2) - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.4.8.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.8.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.5.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.4.8.1.5.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.5.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.5.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.5.3.2

Addiere $32 x^{2}$ und $32 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.6

Faktorisiere $4$ aus $256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u$ heraus.

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Schritt 3.4.4.8.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $256 x^{4}$ heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $64 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) - 4 u}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2})$ heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1)$ heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - u)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.7

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.8

Vereinfache.

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Schritt 3.4.4.8.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.8.1.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} (64 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.8.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.8.1.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.8.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.4.8.1.8.1.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 (x^{2} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.8.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2 + 2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.8.1.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.8.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4}) - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.8.1.6

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.8.1.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2}$ .

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Schritt 3.4.4.8.1.8.2.1

Subtrahiere $64 x^{4}$ von $64 x^{4}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 0 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.8.2.2

Addiere $16 x^{2} + 1$ und $0$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.8.3

Addiere $16 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.9

Schreibe $4 (19 x^{2} + 1)$ als $2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})$ um.

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Schritt 3.4.4.8.1.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.9.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1^{2}}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.1.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.2

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16 x^{2} + 2 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ und $2$ .

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Schritt 3.4.4.8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 x^{2}) + 2 (1)$ heraus.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.3.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ heraus.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) + 2 (- \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 x^{2} + 1) + 2 (- \sqrt{19 x^{2} + 1})$ heraus.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.4.8.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 (x^{2})}$

Schritt 3.4.4.8.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.8.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.4.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{19 x^{2} + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$19 x^{2} + 1 \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$19 x^{2} \geq - 1$

Schritt 5.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $19 x^{2} \geq - 1$ durch $19$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $19 x^{2} \geq - 1$ durch $19$ .

$\frac{19 x^{2}}{19} \geq \frac{- 1}{19}$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $19$ .

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Schritt 5.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{19 x^{2}}{19} \geq \frac{- 1}{19}$

Schritt 5.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{19}$

Schritt 5.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} \geq - \frac{1}{19}$

Schritt 5.3.2.3

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 5.3.3

Setze den Nenner in $\frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 5.3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.3.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.3.4.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ keine inverse Funktion von $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6