Finite Mathematik Beispiele

$f (t) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$

Schritt 1

Schreibe $f (t) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ als Gleichung.

$y = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$u = - 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3) = u$ um.

$- 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3) = u$

Schritt 3.2

Vereinfache $- 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3)$ .

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 y t - 4 y \cdot - 4 + 4 y (t - 3) = u$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$- 4 y t + 16 y + 4 y (t - 3) = u$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 y t + 16 y + 4 y t + 4 y \cdot - 3 = u$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$- 4 y t + 16 y + 4 y t - 12 y = u$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 4 y t + 16 y + 4 y t - 12 y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Addiere $- 4 y t$ und $4 y t$ .

$16 y + 0 - 12 y = u$

Schritt 3.2.2.1.2

Addiere $16 y$ und $0$ .

$16 y - 12 y = u$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $12 y$ von $16 y$ .

$4 y = u$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $4 y = u$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = u$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{u}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{u}{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{u}{4}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (u)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (u) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (u)) = u$ ist und $f (f^{- 1} (u)) = u$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (u))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (u))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)}{4}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $4 u$ aus $- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $4 u$ aus $- 4 u (t - 4)$ heraus.

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- 1 (t - 4)) + 4 u (t - 3)}{4}$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $4 u$ aus $4 u (- 1 (t - 4)) + 4 u (t - 3)$ heraus.

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- 1 (t - 4) + t - 3)}{4}$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- 1 t - 1 \cdot - 4 + t - 3)}{4}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- t - 1 \cdot - 4 + t - 3)}{4}$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- t + 4 + t - 3)}{4}$

Schritt 5.2.3.5

Addiere $- t$ und $t$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (0 + 4 - 3)}{4}$

Schritt 5.2.3.6

Addiere $0$ und $4$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (4 - 3)}{4}$

Schritt 5.2.3.7

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u \cdot 1}{4}$

Schritt 5.2.3.8

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u}{4}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u}{4}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = u$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (u))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (u))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{u}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{u}{4}) = - 4 \frac{u}{4} (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) (t - 3)$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (\frac{u}{4}) = 4 (- 1) (\frac{u}{4}) \cdot (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{u}{4}) = 4 \cdot (- 1 \frac{u}{4}) \cdot (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Schritt 5.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{u}{4}) = - 1 u (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $- 1 u$ als $- u$ um.

$f (\frac{u}{4}) = - u (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Schritt 5.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{u}{4}) = - u t - u \cdot - 4 + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Schritt 5.3.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + u (t - 3)$

Schritt 5.3.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + u t + u \cdot - 3$

Schritt 5.3.3.7

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $u$ .

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + u t - 3 u$

Schritt 5.3.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- u t + 4 u + u t - 3 u$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Addiere $- u t$ und $u t$ .

$f (\frac{u}{4}) = 4 u + 0 - 3 u$

Schritt 5.3.4.1.2

Addiere $4 u$ und $0$ .

$f (\frac{u}{4}) = 4 u - 3 u$

Schritt 5.3.4.2

Subtrahiere $3 u$ von $4 u$ .

$f (\frac{u}{4}) = u$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (u)) = u$ und $f (f^{- 1} (u)) = u$ gleich sind, ist $f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (u) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ .

$f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$