Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x - 7}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x}{x - 7}$ als Gleichung.

$y = \frac{x}{x - 7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y}{y - 7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $y - 7$ .

$(y - 7) (x) = (\frac{y}{y - 7}) (y - 7)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y x - 7 x = (\frac{y}{y - 7}) (y - 7)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 7$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y x - 7 x = \frac{y}{y - 7} (y - 7)$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y x - 7 x = y$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x - 7 x - y = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $7 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x - y = 7 x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y x - y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$y (x) - y = 7 x$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y (x) + y \cdot - 1 = 7 x$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x) + y \cdot - 1$ heraus.

$y (x - 1) = 7 x$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 7 x$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 7 x$ durch $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{7 x}{x - 1}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{7 x}{x - 1}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{7 x}{x - 1}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{x - 1}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x}{x - 7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x}{x - 7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{7 (\frac{x}{x - 7})}{(\frac{x}{x - 7}) - 1}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $7$ und $\frac{x}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x}{x - 7} - 1}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x}{x - 7} - 1 \cdot \frac{x - 7}{x - 7}}$

Schritt 5.2.4.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x}{x - 7} + \frac{- (x - 7)}{x - 7}}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x - (x - 7)}{x - 7}}$

Schritt 5.2.4.4

Schreibe $\frac{x - (x - 7)}{x - 7}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x - x + 7}{x - 7}}$

Schritt 5.2.4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x - x + 7}{x - 7}}$

Schritt 5.2.4.4.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{0 + 7}{x - 7}}$

Schritt 5.2.4.4.4

Addiere $0$ und $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{7}{x - 7}}$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{7 x}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{7}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.6.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{7 (x)}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{7}$

Schritt 5.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{7 x}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{7}$

Schritt 5.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{x}{x - 7} \cdot (x - 7)$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 7$ .

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Schritt 5.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{x}{x - 7} \cdot (x - 7)$

Schritt 5.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{7 x}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{\frac{7 x}{x - 1}}{(\frac{7 x}{x - 1}) - 7}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 x}{x - 1} - 7}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 x}{x - 1} - 7 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 x}{x - 1} + \frac{- 7 (x - 1)}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 x - 7 (x - 1)}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.4

Schreibe $\frac{7 x - 7 (x - 1)}{x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.4.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x - 7 (x - 1)$ heraus.

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Schritt 5.3.4.4.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (x) - 7 (x - 1)}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.4.1.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7 (x - 1)$ heraus.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (x) + 7 (- (x - 1))}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.4.1.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (x) + 7 (- (x - 1))$ heraus.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (x - (x - 1))}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.4.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (0 + 1)}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.4.5

Addiere $0$ und $1$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 \cdot 1}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.5

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7}{x - 1}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot (1 (\frac{x - 1}{7}))$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{7}$ mit $1$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{7}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 (x)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{7}$

Schritt 5.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{7}$

Schritt 5.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Schritt 5.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{x - 1}$