Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = - 7^{2} + 3 x + 3$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - 7^{2} + 3 x + 3$ als Gleichung.

$y = - 7^{2} + 3 x + 3$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - 7^{2} + 3 y + 3$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- 7^{2} + 3 y + 3 = x$ um.

$- 7^{2} + 3 y + 3 = x$

Schritt 3.2

Vereinfache $- 7^{2} + 3 y + 3$ .

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$- 1 \cdot 49 + 3 y + 3 = x$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$- 49 + 3 y + 3 = x$

Schritt 3.2.2

Addiere $- 49$ und $3$ .

$3 y - 46 = x$

Schritt 3.3

Addiere $46$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = x + 46$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x + 46$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x + 46$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 7^{2} + 3 x + 3$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{- 7^{2} + 3 x + 3}{3} + \frac{46}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{- 7^{2} + 3 x + 3 + 46}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{- 1 \cdot 49 + 3 x + 3 + 46}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{- 49 + 3 x + 3 + 46}{3}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 49$ und $3$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{3 x - 46 + 46}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x - 46 + 46$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Addiere $- 46$ und $46$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 5.2.5.2.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 7^{2} + 3 (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) + 3$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 1 \cdot 49 + 3 (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) + 3$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + 3 (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) + 3$

Schritt 5.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{46}{3}) + 3$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{46}{3}) + 3$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + x + 3 (\frac{46}{3}) + 3$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + x + 3 (\frac{46}{3}) + 3$

Schritt 5.3.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + x + 46 + 3$

Schritt 5.3.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 49$ und $46$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = x - 3 + 3$

Schritt 5.3.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 + 3$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 7^{2} + 3 x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$