Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}$ als Gleichung.

$y = \frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{6 y - 11}{- 4 y + 6}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{6 y - 11}{- 4 y + 6} = x$ um.

$\frac{6 y - 11}{- 4 y + 6} = x$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 y + 6$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 y$ heraus.

$\frac{6 y - 11}{2 (- 2 y) + 6} = x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 y - 11}{2 (- 2 y) + 2 (3)} = x$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 y) + 2 (3)$ heraus.

$\frac{6 y - 11}{2 (- 2 y + 3)} = x$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 (- 2 y + 3), 1$

Schritt 3.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 (- 2 y + 3)$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{6 y - 11}{2 (- 2 y + 3)} = x$ mit $2 (- 2 y + 3)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{6 y - 11}{2 (- 2 y + 3)} = x$ mit $2 (- 2 y + 3)$ .

$\frac{6 y - 11}{2 (- 2 y + 3)} (2 (- 2 y + 3)) = x (2 (- 2 y + 3))$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{6 y - 11}{2 (- 2 y + 3)} (- 2 y + 3) = x (2 (- 2 y + 3))$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{6 y - 11}{2 (- 2 y + 3)} (- 2 y + 3) = x (2 (- 2 y + 3))$

Schritt 3.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 y - 11}{- 2 y + 3} (- 2 y + 3) = x (2 (- 2 y + 3))$

Schritt 3.4.2.3

Mutltipliziere $\frac{6 y - 11}{- 2 y + 3}$ mit $- 2 y + 3$ .

$\frac{(6 y - 11) (- 2 y + 3)}{- 2 y + 3} = x (2 (- 2 y + 3))$

Schritt 3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 y + 3$ .

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Schritt 3.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(6 y - 11) (- 2 y + 3)}{- 2 y + 3} = x (2 (- 2 y + 3))$

Schritt 3.4.2.4.2

Dividiere $6 y - 11$ durch $1$ .

$6 y - 11 = x (2 (- 2 y + 3))$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 y - 11 = 2 x (- 2 y + 3)$

Schritt 3.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 y - 11 = 2 x (- 2 y) + 2 x \cdot 3$

Schritt 3.4.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 y - 11 = 2 \cdot - 2 x y + 2 x \cdot 3$

Schritt 3.4.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 y - 11 = 2 \cdot - 2 x y + 6 x$

Schritt 3.4.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$6 y - 11 = - 4 x y + 6 x$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Addiere $4 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y - 11 + 4 x y = 6 x$

Schritt 3.5.2

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y + 4 x y = 6 x + 11$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $2 y$ aus $6 y + 4 x y$ heraus.

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Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $2 y$ aus $6 y$ heraus.

$2 y (3) + 4 x y = 6 x + 11$

Schritt 3.5.3.2

Faktorisiere $2 y$ aus $4 x y$ heraus.

$2 y (3) + 2 y (2 x) = 6 x + 11$

Schritt 3.5.3.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (3) + 2 y (2 x)$ heraus.

$2 y (3 + 2 x) = 6 x + 11$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y (3 + 2 x) = 6 x + 11$ durch $2 (3 + 2 x)$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y (3 + 2 x) = 6 x + 11$ durch $2 (3 + 2 x)$ .

$\frac{2 y (3 + 2 x)}{2 (3 + 2 x)} = \frac{6 x}{2 (3 + 2 x)} + \frac{11}{2 (3 + 2 x)}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y (3 + 2 x)}{2 (3 + 2 x)} = \frac{6 x}{2 (3 + 2 x)} + \frac{11}{2 (3 + 2 x)}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (3 + 2 x)}{3 + 2 x} = \frac{6 x}{2 (3 + 2 x)} + \frac{11}{2 (3 + 2 x)}$

Schritt 3.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 + 2 x$ .

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Schritt 3.5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (3 + 2 x)}{3 + 2 x} = \frac{6 x}{2 (3 + 2 x)} + \frac{11}{2 (3 + 2 x)}$

Schritt 3.5.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{6 x}{2 (3 + 2 x)} + \frac{11}{2 (3 + 2 x)}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 3.5.4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$y = \frac{2 (3 x)}{2 (3 + 2 x)} + \frac{11}{2 (3 + 2 x)}$

Schritt 3.5.4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.4.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (3 x)}{2 (3 + 2 x)} + \frac{11}{2 (3 + 2 x)}$

Schritt 3.5.4.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 x}{3 + 2 x} + \frac{11}{2 (3 + 2 x)}$

Schritt 3.5.4.3.2

Um $\frac{3 x}{3 + 2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{3 + 2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{11}{2 (3 + 2 x)}$

Schritt 3.5.4.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 + 2 x) \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.5.4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 x}{3 + 2 x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x \cdot 2}{(3 + 2 x) \cdot 2} + \frac{11}{2 (3 + 2 x)}$

Schritt 3.5.4.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(3 + 2 x) \cdot 2$ um.

$y = \frac{3 x \cdot 2}{2 (3 + 2 x)} + \frac{11}{2 (3 + 2 x)}$

Schritt 3.5.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 x \cdot 2 + 11}{2 (3 + 2 x)}$

Schritt 3.5.4.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{6 (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) + 11}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}))}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x + 6$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{6 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x) + 6}) + 11}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}))}$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{6 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x) + 2 (3)}) + 11}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}))}$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x) + 2 (3)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{6 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}) + 11}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}))}$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x + 6$ heraus.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{6 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}) + 11}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x) + 6}))}$

Schritt 5.2.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{6 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}) + 11}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x) + 2 (3)}))}$

Schritt 5.2.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x) + 2 (3)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{6 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}) + 11}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{2 (3) (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}) + 11}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{2 \cdot (3 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)})) + 11}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{3 (\frac{6 x - 11}{- 2 x + 3}) + 11}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.2

Kombiniere $3$ und $\frac{6 x - 11}{- 2 x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{\frac{3 (6 x - 11)}{- 2 x + 3} + 11}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.3

Um $11$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 2 x + 3}{- 2 x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{\frac{3 (6 x - 11)}{- 2 x + 3} + \frac{11 (- 2 x + 3)}{- 2 x + 3}}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{\frac{3 (6 x - 11) + 11 (- 2 x + 3)}{- 2 x + 3}}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.5

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{\frac{11 (- 2 x + 3) + 3 (6 x - 11)}{- 2 x + 3}}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.6

Schreibe $\frac{11 (- 2 x + 3) + 3 (6 x - 11)}{- 2 x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{\frac{11 (- 2 x) + 11 \cdot 3 + 3 (6 x - 11)}{- 2 x + 3}}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $11$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{\frac{- 22 x + 11 \cdot 3 + 3 (6 x - 11)}{- 2 x + 3}}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.6.3

Mutltipliziere $11$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{\frac{- 22 x + 33 + 3 (6 x - 11)}{- 2 x + 3}}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{\frac{- 22 x + 33 + 3 (6 x) + 3 \cdot - 11}{- 2 x + 3}}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.6.5

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{\frac{- 22 x + 33 + 18 x + 3 \cdot - 11}{- 2 x + 3}}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.6.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 11$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{\frac{- 22 x + 33 + 18 x - 33}{- 2 x + 3}}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.6.7

Addiere $- 22 x$ und $18 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{\frac{- 4 x + 33 - 33}{- 2 x + 3}}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.6.8

Subtrahiere $33$ von $33$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{\frac{- 4 x + 0}{- 2 x + 3}}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.6.9

Addiere $- 4 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{\frac{- 4 x}{- 2 x + 3}}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{2 (3 + 2 (\frac{6 x - 11}{2 (- 2 x + 3)}))}$

Schritt 5.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{2 (3 + \frac{6 x - 11}{- 2 x + 3})}$

Schritt 5.2.5.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 2 x + 3}{- 2 x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{2 (\frac{3 (- 2 x + 3)}{- 2 x + 3} + \frac{6 x - 11}{- 2 x + 3})}$

Schritt 5.2.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{2 (\frac{3 (- 2 x + 3) + 6 x - 11}{- 2 x + 3})}$

Schritt 5.2.5.4

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{2 (\frac{6 x + 3 (- 2 x + 3) - 11}{- 2 x + 3})}$

Schritt 5.2.5.5

Schreibe $\frac{6 x + 3 (- 2 x + 3) - 11}{- 2 x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{2 (\frac{6 x + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 - 11}{- 2 x + 3})}$

Schritt 5.2.5.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{2 (\frac{6 x - 6 x + 3 \cdot 3 - 11}{- 2 x + 3})}$

Schritt 5.2.5.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{2 (\frac{6 x - 6 x + 9 - 11}{- 2 x + 3})}$

Schritt 5.2.5.5.4

Subtrahiere $6 x$ von $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{2 (\frac{0 + 9 - 11}{- 2 x + 3})}$

Schritt 5.2.5.5.5

Addiere $0$ und $9$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{2 (\frac{9 - 11}{- 2 x + 3})}$

Schritt 5.2.5.5.6

Subtrahiere $11$ von $9$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{2 (\frac{- 2}{- 2 x + 3})}$

Schritt 5.2.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{2 \cdot (- 1 \frac{2}{- 2 x + 3})}$

Schritt 5.2.5.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.5.7.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{- (2 (\frac{2}{- 2 x + 3}))}$

Schritt 5.2.5.7.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{- 2 x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{- \frac{2 \cdot 2}{- 2 x + 3}}$

Schritt 5.2.5.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{- \frac{4 x}{- 2 x + 3}}{- \frac{4}{- 2 x + 3}}$

Schritt 5.2.6

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{\frac{4 x}{- 2 x + 3}}{\frac{4}{- 2 x + 3}}$

Schritt 5.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{4 x}{- 2 x + 3} \cdot \frac{- 2 x + 3}{4}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.8.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{4 (x)}{- 2 x + 3} \cdot \frac{- 2 x + 3}{4}$

Schritt 5.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{4 x}{- 2 x + 3} \cdot \frac{- 2 x + 3}{4}$

Schritt 5.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{x}{- 2 x + 3} \cdot (- 2 x + 3)$

Schritt 5.2.9

Mutltipliziere $\frac{x}{- 2 x + 3}$ mit $- 2 x + 3$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{x (- 2 x + 3)}{- 2 x + 3}$

Schritt 5.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 x + 3$ .

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Schritt 5.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = \frac{x (- 2 x + 3)}{- 2 x + 3}$

Schritt 5.2.10.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{6 (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) - 11}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{2 (3) (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) - 11}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{2 \cdot (3 (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)})) - 11}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{3 (\frac{6 x + 11}{3 + 2 x}) - 11}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{6 x + 11}{3 + 2 x}$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{\frac{3 (6 x + 11)}{3 + 2 x} - 11}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.3

Um $- 11$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 + 2 x}{3 + 2 x}$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{\frac{3 (6 x + 11)}{3 + 2 x} - 11 \cdot \frac{3 + 2 x}{3 + 2 x}}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.4

Kombiniere $- 11$ und $\frac{3 + 2 x}{3 + 2 x}$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{\frac{3 (6 x + 11)}{3 + 2 x} + \frac{- 11 (3 + 2 x)}{3 + 2 x}}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{\frac{3 (6 x + 11) - 11 (3 + 2 x)}{3 + 2 x}}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.6

Stelle die Terme um.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{\frac{3 (6 x + 11) - 11 (3 + 2 x)}{2 x + 3}}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.7

Schreibe $\frac{3 (6 x + 11) - 11 (3 + 2 x)}{2 x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{\frac{3 (6 x) + 3 \cdot 11 - 11 (3 + 2 x)}{2 x + 3}}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.7.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{\frac{18 x + 3 \cdot 11 - 11 (3 + 2 x)}{2 x + 3}}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $11$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{\frac{18 x + 33 - 11 (3 + 2 x)}{2 x + 3}}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{\frac{18 x + 33 - 11 \cdot 3 - 11 (2 x)}{2 x + 3}}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.7.5

Mutltipliziere $- 11$ mit $3$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{\frac{18 x + 33 - 33 - 11 (2 x)}{2 x + 3}}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.7.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 11$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{\frac{18 x + 33 - 33 - 22 x}{2 x + 3}}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.7.7

Subtrahiere $22 x$ von $18 x$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{\frac{- 4 x + 33 - 33}{2 x + 3}}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.7.8

Subtrahiere $33$ von $33$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{\frac{- 4 x + 0}{2 x + 3}}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.7.9

Addiere $- 4 x$ und $0$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{\frac{- 4 x}{2 x + 3}}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 6$ heraus.

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Schritt 5.3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}$ heraus.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (- 2 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) + 6}$

Schritt 5.3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (- 2 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) + 2 (3)}$

Schritt 5.3.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) + 2 (3)$ heraus.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (- 2 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)} + 3)}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (2 (- 1) (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) + 3)}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (2 \cdot (- 1 \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) + 3)}$

Schritt 5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (- 1 \frac{6 x + 11}{3 + 2 x} + 3)}$

Schritt 5.3.4.3

Schreibe $- 1 \frac{6 x + 11}{3 + 2 x}$ als $- \frac{6 x + 11}{3 + 2 x}$ um.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (- \frac{6 x + 11}{3 + 2 x} + 3)}$

Schritt 5.3.4.4

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 + 2 x}{3 + 2 x}$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (- \frac{6 x + 11}{3 + 2 x} + \frac{3 (3 + 2 x)}{3 + 2 x})}$

Schritt 5.3.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (\frac{- (6 x + 11) + 3 (3 + 2 x)}{3 + 2 x})}$

Schritt 5.3.4.6

Schreibe $\frac{- (6 x + 11) + 3 (3 + 2 x)}{3 + 2 x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (\frac{- (6 x) - 1 \cdot 11 + 3 (3 + 2 x)}{3 + 2 x})}$

Schritt 5.3.4.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (\frac{- 6 x - 1 \cdot 11 + 3 (3 + 2 x)}{3 + 2 x})}$

Schritt 5.3.4.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (\frac{- 6 x - 11 + 3 (3 + 2 x)}{3 + 2 x})}$

Schritt 5.3.4.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (\frac{- 6 x - 11 + 3 \cdot 3 + 3 (2 x)}{3 + 2 x})}$

Schritt 5.3.4.6.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (\frac{- 6 x - 11 + 9 + 3 (2 x)}{3 + 2 x})}$

Schritt 5.3.4.6.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (\frac{- 6 x - 11 + 9 + 6 x}{3 + 2 x})}$

Schritt 5.3.4.6.7

Addiere $- 6 x$ und $6 x$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (\frac{0 - 11 + 9}{3 + 2 x})}$

Schritt 5.3.4.6.8

Subtrahiere $11$ von $0$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (\frac{- 11 + 9}{3 + 2 x})}$

Schritt 5.3.4.6.9

Addiere $- 11$ und $9$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 (\frac{- 2}{3 + 2 x})}$

Schritt 5.3.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{2 \cdot (- 1 \frac{2}{3 + 2 x})}$

Schritt 5.3.4.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.3.4.8.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{- (2 (\frac{2}{3 + 2 x}))}$

Schritt 5.3.4.8.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3 + 2 x}$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{- \frac{2 \cdot 2}{3 + 2 x}}$

Schritt 5.3.4.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{- \frac{4 x}{2 x + 3}}{- \frac{4}{3 + 2 x}}$

Schritt 5.3.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{\frac{4 x}{2 x + 3}}{\frac{4}{3 + 2 x}}$

Schritt 5.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{4 x}{2 x + 3} \cdot \frac{3 + 2 x}{4}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{4 (x)}{2 x + 3} \cdot \frac{3 + 2 x}{4}$

Schritt 5.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{4 x}{2 x + 3} \cdot \frac{3 + 2 x}{4}$

Schritt 5.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{x}{2 x + 3} \cdot (3 + 2 x)$

Schritt 5.3.8

Mutltipliziere $\frac{x}{2 x + 3}$ mit $3 + 2 x$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{x (3 + 2 x)}{2 x + 3}$

Schritt 5.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 + 2 x$ und $2 x + 3$ .

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Schritt 5.3.9.1

Stelle die Terme um.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{x (2 x + 3)}{2 x + 3}$

Schritt 5.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = \frac{x (2 x + 3)}{2 x + 3}$

Schritt 5.3.9.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{6 x - 11}{- 4 x + 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 11}{2 (3 + 2 x)}$