Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ als Gleichung.

$y = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{- 5}{y^{2 - 4}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{- 5}{y^{2 - 4}} = x$ um.

$\frac{- 5}{y^{2 - 4}} = x$

Schritt 3.2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Bringe $y^{2 - 4}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$- 5 y^{- (2 - 4)} = x$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$- 5 y^{- - 2} = x$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 5 y^{2} = x$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y^{2} = x$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y^{2} = x$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

Schritt 3.3.1.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 5}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{x}{5}$

Schritt 3.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Schritt 3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Schritt 3.3.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Schritt 3.3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ und $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0]$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{- \frac{x}{5}}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- \frac{x}{5}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- \frac{x}{5} \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x}{5} \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1.1

Teile jeden Term in $- \frac{x}{5} \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \frac{x}{5}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x}{5}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Dividiere $\frac{x}{5}$ durch $1$ .

$\frac{x}{5} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.3.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\frac{x}{5} \leq 0$

Schritt 5.3.2.2

Multipliziere beide Seiten mit $5$ .

$\frac{x}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

Schritt 5.3.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x \leq 0 \cdot 5$

Schritt 5.3.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $5$ .

$x \leq 0$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0]$

Schritt 5.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze den Nenner in $\frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2 - 4} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $x^{2 - 4}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$x^{- 2} = 0$

Schritt 5.4.2.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Schritt 5.4.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 5.4.2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 5.4.3

Setze die Basis in $x^{2 - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 5.4.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5.5

Ermittle den Wertebereich der Inversen.

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Schritt 5.5.1

Finde den Wertebereich von $\sqrt{- \frac{x}{5}}$ .

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Schritt 5.5.1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Schritt 5.5.2

Finde den Wertebereich von $- \sqrt{- \frac{x}{5}}$ .

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Schritt 5.5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0]$

Schritt 5.5.3

Finde die Union (Vereinigung) von $[0, \infty), (- \infty, 0]$ .

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Schritt 5.5.3.1

Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5.6

Da die Wertebereich von $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ nicht gleich dem Definitionsbereich von $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ keine Umkehrung von $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .#

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6