Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}$ als Gleichung.

$y = \frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{- 3 y + 2}{7 y + 2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{- 3 y + 2}{7 y + 2} = x$ um.

$\frac{- 3 y + 2}{7 y + 2} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$7 y + 2, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$7 y + 2, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$7 y + 2$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{- 3 y + 2}{7 y + 2} = x$ mit $7 y + 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{- 3 y + 2}{7 y + 2} = x$ mit $7 y + 2$ .

$\frac{- 3 y + 2}{7 y + 2} (7 y + 2) = x (7 y + 2)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 y + 2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y + 2}{7 y + 2} (7 y + 2) = x (7 y + 2)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 3 y + 2 = x (7 y + 2)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 y + 2 = x (7 y) + x \cdot 2$

Schritt 3.3.3.2

Stelle um.

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Schritt 3.3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 3 y + 2 = 7 x y + x \cdot 2$

Schritt 3.3.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 3 y + 2 = 7 x y + 2 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $7 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y + 2 - 7 x y = 2 x$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y - 7 x y = 2 x - 2$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y - 7 x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y$ heraus.

$y \cdot - 3 - 7 x y = 2 x - 2$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 7 x y$ heraus.

$y \cdot - 3 + y (- 7 x) = 2 x - 2$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 3 + y (- 7 x)$ heraus.

$y (- 3 - 7 x) = 2 x - 2$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (- 3 - 7 x) = 2 x - 2$ durch $- 3 - 7 x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- 3 - 7 x) = 2 x - 2$ durch $- 3 - 7 x$ .

$\frac{y (- 3 - 7 x)}{- 3 - 7 x} = \frac{2 x}{- 3 - 7 x} + \frac{- 2}{- 3 - 7 x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 - 7 x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- 3 - 7 x)}{- 3 - 7 x} = \frac{2 x}{- 3 - 7 x} + \frac{- 2}{- 3 - 7 x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x}{- 3 - 7 x} + \frac{- 2}{- 3 - 7 x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 x - 2}{- 3 - 7 x}$

Schritt 3.4.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 3.4.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{2 (x) - 2}{- 3 - 7 x}$

Schritt 3.4.4.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{2 (x) + 2 (- 1)}{- 3 - 7 x}$

Schritt 3.4.4.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{2 (x - 1)}{- 3 - 7 x}$

Schritt 3.4.4.3.3

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{2 (x - 1)}{- 1 (3) - 7 x}$

Schritt 3.4.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 x$ heraus.

$y = \frac{2 (x - 1)}{- 1 (3) - (7 x)}$

Schritt 3.4.4.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (7 x)$ heraus.

$y = \frac{2 (x - 1)}{- 1 (3 + 7 x)}$

Schritt 3.4.4.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 ((\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) - 1)}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7 x + 2}{7 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2} - 1 \cdot \frac{7 x + 2}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7 x + 2}{7 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2} + \frac{- (7 x + 2)}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 3 x + 2 - (7 x + 2)}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Schritt 5.2.3.4

Schreibe $\frac{- 3 x + 2 - (7 x + 2)}{7 x + 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 3 x + 2 - (7 x) - 1 \cdot 2}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Schritt 5.2.3.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 3 x + 2 - 7 x - 1 \cdot 2}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Schritt 5.2.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 3 x + 2 - 7 x - 2}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Schritt 5.2.3.4.4

Subtrahiere $7 x$ von $- 3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 10 x + 2 - 2}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Schritt 5.2.3.4.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 10 x + 0}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Schritt 5.2.3.4.6

Addiere $- 10 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 10 x}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Schritt 5.2.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 \cdot (- 1 \frac{10 x}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Schritt 5.2.3.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.3.6.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- (2 (\frac{10 x}{7 x + 2}))}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Schritt 5.2.3.6.2

Kombiniere $2$ und $\frac{10 x}{7 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{2 (10 x)}{7 x + 2}}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Schritt 5.2.3.6.3

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $7$ und $\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{3 + \frac{7 (- 3 x + 2)}{7 x + 2}}$

Schritt 5.2.4.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7 x + 2}{7 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{3 (7 x + 2)}{7 x + 2} + \frac{7 (- 3 x + 2)}{7 x + 2}}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{3 (7 x + 2) + 7 (- 3 x + 2)}{7 x + 2}}$

Schritt 5.2.4.4

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{7 (- 3 x + 2) + 3 (7 x + 2)}{7 x + 2}}$

Schritt 5.2.4.5

Schreibe $\frac{7 (- 3 x + 2) + 3 (7 x + 2)}{7 x + 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{7 (- 3 x) + 7 \cdot 2 + 3 (7 x + 2)}{7 x + 2}}$

Schritt 5.2.4.5.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{- 21 x + 7 \cdot 2 + 3 (7 x + 2)}{7 x + 2}}$

Schritt 5.2.4.5.3

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{- 21 x + 14 + 3 (7 x + 2)}{7 x + 2}}$

Schritt 5.2.4.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{- 21 x + 14 + 3 (7 x) + 3 \cdot 2}{7 x + 2}}$

Schritt 5.2.4.5.5

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{- 21 x + 14 + 21 x + 3 \cdot 2}{7 x + 2}}$

Schritt 5.2.4.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{- 21 x + 14 + 21 x + 6}{7 x + 2}}$

Schritt 5.2.4.5.7

Addiere $- 21 x$ und $21 x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{0 + 14 + 6}{7 x + 2}}$

Schritt 5.2.4.5.8

Addiere $0$ und $14$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{14 + 6}{7 x + 2}}$

Schritt 5.2.4.5.9

Addiere $14$ und $6$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{20}{7 x + 2}}$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - (- \frac{20 x}{7 x + 2} \cdot \frac{7 x + 2}{20})$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 5.2.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{20 x}{7 x + 2}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - (\frac{- 20 x}{7 x + 2} \cdot \frac{7 x + 2}{20})$

Schritt 5.2.6.2

Faktorisiere $20$ aus $- 20 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - (\frac{20 (- x)}{7 x + 2} \cdot \frac{7 x + 2}{20})$

Schritt 5.2.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - (\frac{20 (- x)}{7 x + 2} \cdot \frac{7 x + 2}{20})$

Schritt 5.2.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - (\frac{- x}{7 x + 2} \cdot (7 x + 2))$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 x + 2$ .

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Schritt 5.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - (\frac{- x}{7 x + 2} \cdot (7 x + 2))$

Schritt 5.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{- 3 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere $- 3 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x})$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{3 (\frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{3 (2 (x - 1))}{3 + 7 x} + 2}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Schritt 5.3.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{6 (x - 1)}{3 + 7 x} + 2}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Schritt 5.3.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 + 7 x}{3 + 7 x}$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{6 (x - 1)}{3 + 7 x} + \frac{2 (3 + 7 x)}{3 + 7 x}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{6 (x - 1) + 2 (3 + 7 x)}{3 + 7 x}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Schritt 5.3.3.4

Stelle die Terme um.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{6 (x - 1) + 2 (3 + 7 x)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Schritt 5.3.3.5

Schreibe $\frac{6 (x - 1) + 2 (3 + 7 x)}{7 x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6 (x - 1) + 2 (3 + 7 x)$ heraus.

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Schritt 5.3.3.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 (x - 1)$ heraus.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{2 (3 (x - 1)) + 2 (3 + 7 x)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Schritt 5.3.3.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 (x - 1)) + 2 (3 + 7 x)$ heraus.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{2 (3 (x - 1) + 3 + 7 x)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Schritt 5.3.3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{2 (3 x + 3 \cdot - 1 + 3 + 7 x)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Schritt 5.3.3.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{2 (3 x - 3 + 3 + 7 x)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Schritt 5.3.3.5.4

Addiere $3 x$ und $7 x$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{2 (10 x - 3 + 3)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Schritt 5.3.3.5.5

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{2 (10 x + 0)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Schritt 5.3.3.5.6

Addiere $10 x$ und $0$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{2 \cdot (10 x)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Schritt 5.3.3.5.7

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Multipliziere $7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x})$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{- 7 \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x} + 2}$

Schritt 5.3.4.1.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{- 7 (2 (x - 1))}{3 + 7 x} + 2}$

Schritt 5.3.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{- 14 (x - 1)}{3 + 7 x} + 2}$

Schritt 5.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{- \frac{14 (x - 1)}{3 + 7 x} + 2}$

Schritt 5.3.4.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 + 7 x}{3 + 7 x}$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{- \frac{14 (x - 1)}{3 + 7 x} + \frac{2 (3 + 7 x)}{3 + 7 x}}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{- 14 (x - 1) + 2 (3 + 7 x)}{3 + 7 x}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $\frac{- 14 (x - 1) + 2 (3 + 7 x)}{3 + 7 x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14 (x - 1) + 2 (3 + 7 x)$ heraus.

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Schritt 5.3.4.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14 (x - 1)$ heraus.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{2 (- 7 (x - 1)) + 2 (3 + 7 x)}{3 + 7 x}}$

Schritt 5.3.4.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 7 (x - 1)) + 2 (3 + 7 x)$ heraus.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{2 (- 7 (x - 1) + 3 + 7 x)}{3 + 7 x}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{2 (- 7 x - 7 \cdot - 1 + 3 + 7 x)}{3 + 7 x}}$

Schritt 5.3.4.5.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{2 (- 7 x + 7 + 3 + 7 x)}{3 + 7 x}}$

Schritt 5.3.4.5.4

Addiere $- 7 x$ und $7 x$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{2 (0 + 7 + 3)}{3 + 7 x}}$

Schritt 5.3.4.5.5

Addiere $0$ und $7$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{2 (7 + 3)}{3 + 7 x}}$

Schritt 5.3.4.5.6

Addiere $7$ und $3$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{2 \cdot 10}{3 + 7 x}}$

Schritt 5.3.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{20}{3 + 7 x}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{20 x}{7 x + 3} \cdot \frac{3 + 7 x}{20}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $20$ aus $20 x$ heraus.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{20 (x)}{7 x + 3} \cdot \frac{3 + 7 x}{20}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{20 x}{7 x + 3} \cdot \frac{3 + 7 x}{20}$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{x}{7 x + 3} \cdot (3 + 7 x)$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $\frac{x}{7 x + 3}$ mit $3 + 7 x$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{x (3 + 7 x)}{7 x + 3}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 + 7 x$ und $7 x + 3$ .

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Schritt 5.3.8.1

Stelle die Terme um.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{x (7 x + 3)}{7 x + 3}$

Schritt 5.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{x (7 x + 3)}{7 x + 3}$

Schritt 5.3.8.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}$