Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$ als Gleichung.

$y = \frac{3 x}{x + 5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3 y}{y + 5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 y}{y + 5} = x$ um.

$\frac{3 y}{y + 5} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y + 5, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y + 5, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y + 5$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 y}{y + 5} = x$ mit $y + 5$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 y}{y + 5} = x$ mit $y + 5$ .

$\frac{3 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y = x (y + 5)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y = x y + x \cdot 5$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 y = x y + 5 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y - x y = 5 x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y$ aus $3 y - x y$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y$ heraus.

$y \cdot 3 - x y = 5 x$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot 3 + y (- x) = 5 x$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 3 + y (- x)$ heraus.

$y (3 - x) = 5 x$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y (3 - x) = 5 x$ durch $3 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (3 - x) = 5 x$ durch $3 - x$ .

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{5 x}{3 - x}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - x$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{5 x}{3 - x}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5 x}{3 - x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{3 x}{x + 5})}{3 - (\frac{3 x}{x + 5})}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{3 x}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{3 - \frac{3 x}{x + 5}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (x + 5)}{x + 5} - \frac{3 x}{x + 5}}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (x + 5) - 3 x}{x + 5}}$

Schritt 5.2.4.3

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{- 3 x + 3 (x + 5)}{x + 5}}$

Schritt 5.2.4.4

Schreibe $\frac{- 3 x + 3 (x + 5)}{x + 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x + 3 (x + 5)$ heraus.

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Schritt 5.2.4.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (- x) + 3 (x + 5)}{x + 5}}$

Schritt 5.2.4.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x) + 3 (x + 5)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (- x + x + 5)}{x + 5}}$

Schritt 5.2.4.4.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (0 + 5)}{x + 5}}$

Schritt 5.2.4.4.3

Addiere $0$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 \cdot 5}{x + 5}}$

Schritt 5.2.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{15}{x + 5}}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{15 x}{x + 5}}{\frac{15}{x + 5}}$

Schritt 5.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{15 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{15}$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 5.2.7.1

Faktorisiere $15$ aus $15 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{15 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{15}$

Schritt 5.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{15 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{15}$

Schritt 5.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Schritt 5.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{5 x}{3 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{3 (\frac{5 x}{3 - x})}{(\frac{5 x}{3 - x}) + 5}$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{5 x}{3 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x}{3 - x} + 5}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x}{3 - x} + \frac{5 (3 - x)}{3 - x}}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x + 5 (3 - x)}{3 - x}}$

Schritt 5.3.4.3

Stelle die Terme um.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x + 5 (3 - x)}{- x + 3}}$

Schritt 5.3.4.4

Schreibe $\frac{5 x + 5 (3 - x)}{- x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x + 5 (3 - x)$ heraus.

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Schritt 5.3.4.4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 (x) + 5 (3 - x)}{- x + 3}}$

Schritt 5.3.4.4.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 (x) + 5 (3 - x)$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 (x + 3 - x)}{- x + 3}}$

Schritt 5.3.4.4.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 (0 + 3)}{- x + 3}}$

Schritt 5.3.4.4.3

Addiere $0$ und $3$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 \cdot 3}{- x + 3}}$

Schritt 5.3.4.5

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{15}{- x + 3}}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{15 x}{3 - x}}{\frac{15}{- x + 3}}$

Schritt 5.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{15 x}{3 - x} \cdot \frac{- x + 3}{15}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $15$ aus $15 x$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{15 (x)}{3 - x} \cdot \frac{- x + 3}{15}$

Schritt 5.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{15 x}{3 - x} \cdot \frac{- x + 3}{15}$

Schritt 5.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x}{3 - x} \cdot (- x + 3)$

Schritt 5.3.8

Mutltipliziere $\frac{x}{3 - x}$ mit $- x + 3$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x (- x + 3)}{3 - x}$

Schritt 5.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 3$ und $3 - x$ .

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Schritt 5.3.9.1

Stelle die Terme um.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x (- x + 3)}{- x + 3}$

Schritt 5.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x (- x + 3)}{- x + 3}$

Schritt 5.3.9.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$