Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} x - b$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{2} x - b$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{2} x - b$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{2} y - b$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} y - b = x$ um.

$\frac{1}{2} y - b = x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

$\frac{y}{2} - b = x$

Schritt 3.3

Addiere $b$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{2} = x + b$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (x + b)$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y}{2} = 2 (x + b)$

Schritt 3.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 (x + b)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 x + 2 b$

Schritt 3.6

Stelle $2 x$ und $2 b$ um.

$y = 2 b + 2 x$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 b + 2 x$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 2 b + 2 x$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{2} x - b$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2} x - b)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - b) = 2 b + 2 (\frac{1}{2} x - b)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - b) = 2 b + 2 (\frac{x}{2} - b)$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - b) = 2 b + 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- b)$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - b) = 2 b + 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- b)$

Schritt 5.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - b) = 2 b + x + 2 (- b)$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - b) = 2 b + x - 2 b$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 b + x - 2 b$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $2 b$ von $2 b$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - b) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - b) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (2 b + 2 x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 b + 2 x) = \frac{1}{2} \cdot (2 b + 2 x) - b$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 b + 2 x) = \frac{1}{2} \cdot (2 b) + \frac{1}{2} \cdot (2 x) - b$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 b$ heraus.

$f (2 b + 2 x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (b)) + \frac{1}{2} \cdot (2 x) - b$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 b + 2 x) = \frac{1}{2} \cdot (2 b) + \frac{1}{2} \cdot (2 x) - b$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 b + 2 x) = b + \frac{1}{2} \cdot (2 x) - b$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (2 b + 2 x) = b + \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) - b$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 b + 2 x) = b + \frac{1}{2} \cdot (2 x) - b$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 b + 2 x) = b + x - b$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $b + x - b$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $b$ von $b$ .

$f (2 b + 2 x) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (2 b + 2 x) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 2 b + 2 x$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{2} x - b$ .

$f^{- 1} (x) = 2 b + 2 x$