Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ um.

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

Schritt 3.2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Schritt 3.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y + 1}{1} = x$

Schritt 3.2.3.2

Dividiere $y + 1$ durch $1$ .

$y + 1 = x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x - 1$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x - 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

Schritt 5.2.3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Schritt 5.2.3.2.2

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

Schritt 5.3.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x - 1$ und $b = 1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Schritt 5.3.3.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Schritt 5.3.3.3.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 5.3.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (x - 1) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x - 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x - 1$