Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4$ als Gleichung.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\sqrt[3]{2 y - 5}}{8} + 4$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt[3]{2 y - 5}}{8} + 4 = x$ um.

$\frac{\sqrt[3]{2 y - 5}}{8} + 4 = x$

Schritt 3.2

Löse nach $\sqrt[3]{2 y - 5}$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sqrt[3]{2 y - 5}}{8} = x - 4$

Schritt 3.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $8$ .

$8 \frac{\sqrt[3]{2 y - 5}}{8} = 8 (x - 4)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{\sqrt[3]{2 y - 5}}{8} = 8 (x - 4)$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[3]{2 y - 5} = 8 (x - 4)$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Vereinfache $8 (x - 4)$ .

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Schritt 3.2.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt[3]{2 y - 5} = 8 x + 8 \cdot - 4$

Schritt 3.2.3.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$\sqrt[3]{2 y - 5} = 8 x - 32$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{2 y - 5}}^{3} = {(8 x - 32)}^{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 y - 5}$ als ${(2 y - 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(2 y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(8 x - 32)}^{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${({(2 y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(8 x - 32)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 y - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(8 x - 32)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 y - 5)}^{1} = {(8 x - 32)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$2 y - 5 = {(8 x - 32)}^{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(8 x - 32)}^{3}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$2 y - 5 = {(8 x)}^{3} + 3 {(8 x)}^{2} \cdot - 32 + 3 (8 x) {(- 32)}^{2} + {(- 32)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Wende die Produktregel auf $8 x$ an.

$2 y - 5 = 8^{3} x^{3} + 3 {(8 x)}^{2} \cdot - 32 + 3 (8 x) {(- 32)}^{2} + {(- 32)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$2 y - 5 = 512 x^{3} + 3 {(8 x)}^{2} \cdot - 32 + 3 (8 x) {(- 32)}^{2} + {(- 32)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Wende die Produktregel auf $8 x$ an.

$2 y - 5 = 512 x^{3} + 3 (8^{2} x^{2}) \cdot - 32 + 3 (8 x) {(- 32)}^{2} + {(- 32)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.4

Potenziere $8$ mit $2$ .

$2 y - 5 = 512 x^{3} + 3 (64 x^{2}) \cdot - 32 + 3 (8 x) {(- 32)}^{2} + {(- 32)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.5

Mutltipliziere $64$ mit $3$ .

$2 y - 5 = 512 x^{3} + 192 x^{2} \cdot - 32 + 3 (8 x) {(- 32)}^{2} + {(- 32)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.6

Mutltipliziere $- 32$ mit $192$ .

$2 y - 5 = 512 x^{3} - 6144 x^{2} + 3 (8 x) {(- 32)}^{2} + {(- 32)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.7

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$2 y - 5 = 512 x^{3} - 6144 x^{2} + 24 x {(- 32)}^{2} + {(- 32)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.8

Potenziere $- 32$ mit $2$ .

$2 y - 5 = 512 x^{3} - 6144 x^{2} + 24 x \cdot 1024 + {(- 32)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.9

Mutltipliziere $1024$ mit $24$ .

$2 y - 5 = 512 x^{3} - 6144 x^{2} + 24576 x + {(- 32)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.10

Potenziere $- 32$ mit $3$ .

$2 y - 5 = 512 x^{3} - 6144 x^{2} + 24576 x - 32768$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 512 x^{3} - 6144 x^{2} + 24576 x - 32768 + 5$

Schritt 3.5.1.2

Addiere $- 32768$ und $5$ .

$2 y = 512 x^{3} - 6144 x^{2} + 24576 x - 32763$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 512 x^{3} - 6144 x^{2} + 24576 x - 32763$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 512 x^{3} - 6144 x^{2} + 24576 x - 32763$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{512 x^{3}}{2} + \frac{- 6144 x^{2}}{2} + \frac{24576 x}{2} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{512 x^{3}}{2} + \frac{- 6144 x^{2}}{2} + \frac{24576 x}{2} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{512 x^{3}}{2} + \frac{- 6144 x^{2}}{2} + \frac{24576 x}{2} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $512$ und $2$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $512 x^{3}$ heraus.

$y = \frac{2 (256 x^{3})}{2} + \frac{- 6144 x^{2}}{2} + \frac{24576 x}{2} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (256 x^{3})}{2 (1)} + \frac{- 6144 x^{2}}{2} + \frac{24576 x}{2} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (256 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{- 6144 x^{2}}{2} + \frac{24576 x}{2} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{256 x^{3}}{1} + \frac{- 6144 x^{2}}{2} + \frac{24576 x}{2} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.2.4

Dividiere $256 x^{3}$ durch $1$ .

$y = 256 x^{3} + \frac{- 6144 x^{2}}{2} + \frac{24576 x}{2} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6144$ und $2$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6144 x^{2}$ heraus.

$y = 256 x^{3} + \frac{2 (- 3072 x^{2})}{2} + \frac{24576 x}{2} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = 256 x^{3} + \frac{2 (- 3072 x^{2})}{2 (1)} + \frac{24576 x}{2} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 256 x^{3} + \frac{2 (- 3072 x^{2})}{2 \cdot 1} + \frac{24576 x}{2} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 256 x^{3} + \frac{- 3072 x^{2}}{1} + \frac{24576 x}{2} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2.4

Dividiere $- 3072 x^{2}$ durch $1$ .

$y = 256 x^{3} - 3072 x^{2} + \frac{24576 x}{2} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24576$ und $2$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $24576 x$ heraus.

$y = 256 x^{3} - 3072 x^{2} + \frac{2 (12288 x)}{2} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = 256 x^{3} - 3072 x^{2} + \frac{2 (12288 x)}{2 (1)} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 256 x^{3} - 3072 x^{2} + \frac{2 (12288 x)}{2 \cdot 1} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 256 x^{3} - 3072 x^{2} + \frac{12288 x}{1} + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.3.2.4

Dividiere $12288 x$ durch $1$ .

$y = 256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x + \frac{- 32763}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = 256 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4)}^{3} - 3072 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4)}^{2} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = 256 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4 \cdot \frac{8}{8})}^{3} - 3072 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4)}^{2} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{8}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = 256 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + \frac{4 \cdot 8}{8})}^{3} - 3072 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4)}^{2} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = 256 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5} + 4 \cdot 8}{8})}^{3} - 3072 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4)}^{2} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = 256 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5} + 32}{8})}^{3} - 3072 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4)}^{2} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{2 x - 5} + 32}{8}$ an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = 256 (\frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{8^{3}}) - 3072 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4)}^{2} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.6

Potenziere $8$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = 256 (\frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{512}) - 3072 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4)}^{2} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $256$ .

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Schritt 5.2.3.7.1

Faktorisiere $256$ aus $512$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = 256 (\frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{256 (2)}) - 3072 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4)}^{2} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = 256 (\frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{256 \cdot 2}) - 3072 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4)}^{2} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 3072 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4)}^{2} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.8

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 3072 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4 \cdot \frac{8}{8})}^{2} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.9

Kombiniere $4$ und $\frac{8}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 3072 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + \frac{4 \cdot 8}{8})}^{2} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 3072 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5} + 4 \cdot 8}{8})}^{2} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.11

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 3072 {(\frac{\sqrt[3]{2 x - 5} + 32}{8})}^{2} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.12

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{2 x - 5} + 32}{8}$ an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 3072 \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{2}}{8^{2}} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.13

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 3072 \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{2}}{64} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 5.2.3.14.1

Faktorisiere $64$ aus $- 3072$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} + 64 (- 48) (\frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{2}}{64}) + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} + 64 \cdot (- 48 \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{2}}{64}) + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.14.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 {(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{2} + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.15

Schreibe ${(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{2}$ als $(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32) (\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)$ um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 ((\sqrt[3]{2 x - 5} + 32) (\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)) + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.16

Multipliziere $(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32) (\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 (\sqrt[3]{2 x - 5} (\sqrt[3]{2 x - 5} + 32) + 32 (\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)) + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 (\sqrt[3]{2 x - 5} \sqrt[3]{2 x - 5} + \sqrt[3]{2 x - 5} \cdot 32 + 32 (\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)) + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.16.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 (\sqrt[3]{2 x - 5} \sqrt[3]{2 x - 5} + \sqrt[3]{2 x - 5} \cdot 32 + 32 \sqrt[3]{2 x - 5} + 32 \cdot 32) + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.17

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.17.1.1

Multipliziere $\sqrt[3]{2 x - 5} \sqrt[3]{2 x - 5}$ .

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Schritt 5.2.3.17.1.1.1

Potenziere $\sqrt[3]{2 x - 5}$ mit $1$ .

Schritt 5.2.3.17.1.1.2

Potenziere $\sqrt[3]{2 x - 5}$ mit $1$ .

Schritt 5.2.3.17.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 ({\sqrt[3]{2 x - 5}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{2 x - 5} \cdot 32 + 32 \sqrt[3]{2 x - 5} + 32 \cdot 32) + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.17.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 ({\sqrt[3]{2 x - 5}}^{2} + \sqrt[3]{2 x - 5} \cdot 32 + 32 \sqrt[3]{2 x - 5} + 32 \cdot 32) + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.17.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{2 x - 5}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 (\sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x - 5} \cdot 32 + 32 \sqrt[3]{2 x - 5} + 32 \cdot 32) + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.17.1.3

Bringe $32$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{2 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 (\sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} + 32 \cdot \sqrt[3]{2 x - 5} + 32 \sqrt[3]{2 x - 5} + 32 \cdot 32) + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.17.1.4

Mutltipliziere $32$ mit $32$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 (\sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} + 32 \sqrt[3]{2 x - 5} + 32 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1024) + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.17.2

Addiere $32 \sqrt[3]{2 x - 5}$ und $32 \sqrt[3]{2 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 (\sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} + 64 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1024) + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.18

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} - 48 (64 \sqrt[3]{2 x - 5}) - 48 \cdot 1024 + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.19

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.19.1

Mutltipliziere $64$ mit $- 48$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} - 48 \cdot 1024 + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.19.2

Mutltipliziere $- 48$ mit $1024$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} - 49152 + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.20

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

Schritt 5.2.3.21

Kombiniere $4$ und $\frac{8}{8}$ .

Schritt 5.2.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} - 49152 + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5} + 4 \cdot 8}{8}) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.23

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} - 49152 + 12288 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5} + 32}{8}) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.24

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.3.24.1

Faktorisiere $8$ aus $12288$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} - 49152 + 8 (1536) (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5} + 32}{8}) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.24.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} - 49152 + 8 \cdot (1536 (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5} + 32}{8})) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.24.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} - 49152 + 1536 (\sqrt[3]{2 x - 5} + 32) - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.25

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} - 49152 + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \cdot 32 - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.3.26

Mutltipliziere $1536$ mit $32$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} - 49152 + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} + 49152 - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} - 49152 + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} + 49152 - \frac{32763}{2}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 49152$ und $49152$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 0 + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $\frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.5

Um $- 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.6.1

Kombiniere $- 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3}}{2} + \frac{- 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot 2}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x - 5} + 32)}^{3} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot 2}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.7.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{\sqrt[3]{2 x - 5}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{2 x - 5}}^{2} \cdot 32 + 3 \sqrt[3]{2 x - 5} \cdot 32^{2} + 32^{3} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot 2}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.7.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2 x - 5}}^{3}$ als $2 x - 5$ um.

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Schritt 5.2.7.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 x - 5}$ als ${(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{({(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{2 x - 5}}^{2} \cdot 32 + 3 \sqrt[3]{2 x - 5} \cdot 32^{2} + 32^{3} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot 2}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.7.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{2 x - 5}}^{2} \cdot 32 + 3 \sqrt[3]{2 x - 5} \cdot 32^{2} + 32^{3} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot 2}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.7.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{{(2 x - 5)}^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{2 x - 5}}^{2} \cdot 32 + 3 \sqrt[3]{2 x - 5} \cdot 32^{2} + 32^{3} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot 2}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.7.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.7.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.7.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{(2 x - 5) + 3 {\sqrt[3]{2 x - 5}}^{2} \cdot 32 + 3 \sqrt[3]{2 x - 5} \cdot 32^{2} + 32^{3} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot 2}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.7.2.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{2 x - 5 + 3 {\sqrt[3]{2 x - 5}}^{2} \cdot 32 + 3 \sqrt[3]{2 x - 5} \cdot 32^{2} + 32^{3} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot 2}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.7.2.2

Schreibe ${\sqrt[3]{2 x - 5}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{2 x - 5 + 3 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot 32 + 3 \sqrt[3]{2 x - 5} \cdot 32^{2} + 32^{3} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot 2}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.7.2.3

Mutltipliziere $32$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{2 x - 5 + 96 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{2 x - 5} \cdot 32^{2} + 32^{3} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot 2}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.7.2.4

Potenziere $32$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{2 x - 5 + 96 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{2 x - 5} \cdot 1024 + 32^{3} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot 2}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.7.2.5

Mutltipliziere $1024$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{2 x - 5 + 96 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} + 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 32^{3} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot 2}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.7.2.6

Potenziere $32$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{2 x - 5 + 96 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} + 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 32768 - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot 2}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.7.3

Addiere $- 5$ und $32768$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{2 x + 32763 + 96 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} + 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} - 48 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot 2}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 48$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{2 x + 32763 + 96 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}} + 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} - 96 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}}}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.7.5

Subtrahiere $96 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}}$ von $96 \sqrt[3]{{(2 x - 5)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{2 x + 32763 + 0 + 3072 \sqrt[3]{2 x - 5}}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.7.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = \frac{2 x + 32763 + 3072 \sqrt[3]{2 x - 5}}{2} - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} - \frac{32763}{2}$

Schritt 5.2.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} + \frac{2 x + 32763 + 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} - 32763}{2}$

Schritt 5.2.8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 32763 + 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} - 32763$ .

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Schritt 5.2.8.2.1

Subtrahiere $32763$ von $32763$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} + \frac{2 x + 0 + 3072 \sqrt[3]{2 x - 5}}{2}$

Schritt 5.2.8.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} + \frac{2 x + 3072 \sqrt[3]{2 x - 5}}{2}$

Schritt 5.2.8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x + 3072 \sqrt[3]{2 x - 5}$ und $2$ .

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Schritt 5.2.8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} + \frac{2 (x) + 3072 \sqrt[3]{2 x - 5}}{2}$

Schritt 5.2.8.3.2

Faktorisiere $2$ aus $3072 \sqrt[3]{2 x - 5}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} + \frac{2 (x) + 2 (1536 \sqrt[3]{2 x - 5})}{2}$

Schritt 5.2.8.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1536 \sqrt[3]{2 x - 5})$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} + \frac{2 (x + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5})}{2}$

Schritt 5.2.8.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.8.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} + \frac{2 (x + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5})}{2 (1)}$

Schritt 5.2.8.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} + \frac{2 (x + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.8.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} + \frac{x + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5}}{1}$

Schritt 5.2.8.3.4.4

Dividiere $x + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = - 3072 \sqrt[3]{2 x - 5} + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} + x + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5}$

Schritt 5.2.8.4

Addiere $- 3072 \sqrt[3]{2 x - 5}$ und $1536 \sqrt[3]{2 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = - 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} + x + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5}$

Schritt 5.2.8.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 1536 \sqrt[3]{2 x - 5} + x + 1536 \sqrt[3]{2 x - 5}$ .

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Schritt 5.2.8.5.1

Addiere $- 1536 \sqrt[3]{2 x - 5}$ und $1536 \sqrt[3]{2 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = x + 0$

Schritt 5.2.8.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.1

Um $256 x^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (- 3072 x^{2} + 12288 x + 256 x^{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.2

Kombiniere $256 x^{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (- 3072 x^{2} + 12288 x + \frac{256 x^{3} \cdot 2}{2} - \frac{32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (- 3072 x^{2} + 12288 x + \frac{256 x^{3} \cdot 2 - 32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $256$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (- 3072 x^{2} + 12288 x + \frac{512 x^{3} - 32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.5

Um $- 3072 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (12288 x - 3072 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{512 x^{3} - 32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.6

Kombiniere $- 3072 x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (12288 x + \frac{- 3072 x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{512 x^{3} - 32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (12288 x + \frac{- 3072 x^{2} \cdot 2 + 512 x^{3} - 32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3072$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (12288 x + \frac{- 6144 x^{2} + 512 x^{3} - 32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.8.2

Stelle die Terme um.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (12288 x + \frac{512 x^{3} - 6144 x^{2} - 32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.9

Um $12288 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (12288 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{512 x^{3} - 6144 x^{2} - 32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.10

Kombiniere $12288 x$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (\frac{12288 x \cdot 2}{2} + \frac{512 x^{3} - 6144 x^{2} - 32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (\frac{12288 x \cdot 2 + 512 x^{3} - 6144 x^{2} - 32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $12288$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (\frac{24576 x + 512 x^{3} - 6144 x^{2} - 32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.12.2

Stelle die Terme um.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (\frac{512 x^{3} - 6144 x^{2} + 24576 x - 32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (\frac{512 x^{3} - 6144 x^{2} + 24576 x - 32763}{2}) - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.13.2

Forme den Ausdruck um.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 x^{3} - 6144 x^{2} + 24576 x - 32763 - 5}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.14

Subtrahiere $5$ von $- 32763$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 x^{3} - 6144 x^{2} + 24576 x - 32768}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.15

Schreibe $512 x^{3} - 6144 x^{2} + 24576 x - 32768$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.1.15.1

Faktorisiere $512$ aus $512 x^{3} - 6144 x^{2} + 24576 x - 32768$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.15.1.1

Faktorisiere $512$ aus $512 x^{3}$ heraus.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 (x^{3}) - 6144 x^{2} + 24576 x - 32768}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.15.1.2

Faktorisiere $512$ aus $- 6144 x^{2}$ heraus.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 (x^{3}) + 512 (- 12 x^{2}) + 24576 x - 32768}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.15.1.3

Faktorisiere $512$ aus $24576 x$ heraus.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 (x^{3}) + 512 (- 12 x^{2}) + 512 (48 x) - 32768}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.15.1.4

Faktorisiere $512$ aus $- 32768$ heraus.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 x^{3} + 512 (- 12 x^{2}) + 512 (48 x) + 512 \cdot - 64}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.15.1.5

Faktorisiere $512$ aus $512 x^{3} + 512 (- 12 x^{2})$ heraus.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 (x^{3} - 12 x^{2}) + 512 (48 x) + 512 \cdot - 64}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.15.1.6

Faktorisiere $512$ aus $512 (x^{3} - 12 x^{2}) + 512 (48 x)$ heraus.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x) + 512 \cdot - 64}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.15.1.7

Faktorisiere $512$ aus $512 (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x) + 512 \cdot - 64$ heraus.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.15.2

Faktorisiere $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 5.3.3.1.15.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1$

Schritt 5.3.3.1.15.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

Schritt 5.3.3.1.15.2.3

Setze $4$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.3.3.1.15.2.3.1

Setze $4$ in das Polynom ein.

$4^{3} - 12 \cdot 4^{2} + 48 \cdot 4 - 64$

Schritt 5.3.3.1.15.2.3.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$64 - 12 \cdot 4^{2} + 48 \cdot 4 - 64$

Schritt 5.3.3.1.15.2.3.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$64 - 12 \cdot 16 + 48 \cdot 4 - 64$

Schritt 5.3.3.1.15.2.3.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $16$ .

$64 - 192 + 48 \cdot 4 - 64$

Schritt 5.3.3.1.15.2.3.5

Subtrahiere $192$ von $64$ .

$- 128 + 48 \cdot 4 - 64$

Schritt 5.3.3.1.15.2.3.6

Mutltipliziere $48$ mit $4$ .

$- 128 + 192 - 64$

Schritt 5.3.3.1.15.2.3.7

Addiere $- 128$ und $192$ .

$64 - 64$

Schritt 5.3.3.1.15.2.3.8

Subtrahiere $64$ von $64$ .

$0$

Schritt 5.3.3.1.15.2.4

Da $4$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 4$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64}{x - 4}$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5

Dividiere $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ durch $x - 4$ .

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Schritt 5.3.3.1.15.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$48 x$

$64$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$32 x$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x^{2} + 32 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							+	$16 x$	-	$64$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 x - 64$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							-	$16 x$	+	$64$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							-	$16 x$	+	$64$
										$0$

Schritt 5.3.3.1.15.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 5.3.3.1.15.2.6

Schreibe $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ als eine Menge von Faktoren.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 ((x - 4) (x^{2} - 8 x + 16))}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.15.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.3.1.15.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 ((x - 4) (x^{2} - 8 x + 4^{2}))}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.15.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 5.3.3.1.15.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 ((x - 4) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}))}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.15.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 ((x - 4) {(x - 4)}^{2})}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.15.4

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 5.3.3.1.15.4.1

Potenziere $x - 4$ mit $1$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 ((x - 4) {(x - 4)}^{2})}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.15.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 {(x - 4)}^{1 + 2}}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.15.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{512 {(x - 4)}^{3}}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.16

Schreibe $512 {(x - 4)}^{3}$ als ${(8 (x - 4))}^{3}$ um.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{\sqrt[3]{{(8 (x - 4))}^{3}}}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.17

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{8 (x - 4)}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.18

Wende das Distributivgesetz an.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{8 x + 8 \cdot - 4}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.19

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{8 x - 32}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.20

Faktorisiere $8$ aus $8 x - 32$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.20.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{8 (x) - 32}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.20.2

Faktorisiere $8$ aus $- 32$ heraus.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{8 x + 8 \cdot - 4}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.1.20.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 8 \cdot - 4$ heraus.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{8 (x - 4)}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = \frac{8 (x - 4)}{8} + 4$

Schritt 5.3.3.2.2

Dividiere $x - 4$ durch $1$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = x - 4 + 4$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 4 + 4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\sqrt[3]{2 x - 5}}{8} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = 256 x^{3} - 3072 x^{2} + 12288 x - \frac{32763}{2}$