Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ als Gleichung.

$y = 2 + \sqrt{x + 5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 + \sqrt{y + 5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 + \sqrt{y + 5} = x$ um.

$2 + \sqrt{y + 5} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{y + 5} = x - 2$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 5}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 5}$ als ${(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 5)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$y + 5 = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$y + 5 = (x - 2) (x - 2)$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 5 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y + 5 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y + 5 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y + 5 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Schritt 3.4.3.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$y + 5 = x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 3.5

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 5$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$y = x^{2} - 4 x - 1$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = {(2 + \sqrt{x + 5})}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe ${(2 + \sqrt{x + 5})}^{2}$ als $(2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5})$ um.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = (2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $(2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 (2 + \sqrt{x + 5}) + \sqrt{x + 5} (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot 2 + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot 2 + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5}$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{x + 5}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.3.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {\sqrt{x + 5}}^{1 + 1} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.3.1.3.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {\sqrt{x + 5}}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{x + 5}}^{2}$ als $x + 5$ um.

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Schritt 5.2.3.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 5}$ als ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x + 5 - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.3.1.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x + 5 - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.3.2

Addiere $4$ und $5$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.3.3

Addiere $2 \sqrt{x + 5}$ und $2 \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Schritt 5.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 4 \cdot 2 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 8 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 8 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Subtrahiere $4 \sqrt{x + 5}$ von $4 \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + x - 8 + 0 - 1$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $9 + x - 8$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + x - 8 - 1$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $8$ von $9$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x + 1 - 1$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{2} - 4 x - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{(x^{2} - 4 x - 1) + 5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 1$ und $5$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 5.3.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.3.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + x - 2$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 + x - 2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$