Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 13000 - 100 x$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 13000 - 100 x$ als Gleichung.

$y = 13000 - 100 x$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 13000 - 100 y$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $13000 - 100 y = x$ um.

$13000 - 100 y = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $13000$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 100 y = x - 13000$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 100 y = x - 13000$ durch $- 100$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 100 y = x - 13000$ durch $- 100$ .

$\frac{- 100 y}{- 100} = \frac{x}{- 100} + \frac{- 13000}{- 100}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 100$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 100 y}{- 100} = \frac{x}{- 100} + \frac{- 13000}{- 100}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{- 100} + \frac{- 13000}{- 100}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{100} + \frac{- 13000}{- 100}$

Schritt 3.3.3.1.2

Dividiere $- 13000$ durch $- 100$ .

$y = - \frac{x}{100} + 130$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{100} + 130$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{100} + 130$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 13000 - 100 x$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (13000 - 100 x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (13000 - 100 x) = - \frac{13000 - 100 x}{100} + 130$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $13000 - 100 x$ und $100$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $100$ aus $13000$ heraus.

$f^{- 1} (13000 - 100 x) = - \frac{100 \cdot 130 - 100 x}{100} + 130$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $100$ aus $- 100 x$ heraus.

$f^{- 1} (13000 - 100 x) = - \frac{100 \cdot 130 + 100 (- x)}{100} + 130$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $100$ aus $100 (130) + 100 (- x)$ heraus.

$f^{- 1} (13000 - 100 x) = - \frac{100 (130 - x)}{100} + 130$

Schritt 5.2.3.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $100$ aus $100$ heraus.

$f^{- 1} (13000 - 100 x) = - \frac{100 (130 - x)}{100 (1)} + 130$

Schritt 5.2.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (13000 - 100 x) = - \frac{100 (130 - x)}{100 \cdot 1} + 130$

Schritt 5.2.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (13000 - 100 x) = - \frac{130 - x}{1} + 130$

Schritt 5.2.3.1.4.4

Dividiere $130 - x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (13000 - 100 x) = - (130 - x) + 130$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (13000 - 100 x) = - 1 \cdot 130 + x + 130$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $130$ .

$f^{- 1} (13000 - 100 x) = - 130 + x + 130$

Schritt 5.2.3.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (13000 - 100 x) = - 130 + 1 x + 130$

Schritt 5.2.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (13000 - 100 x) = - 130 + x + 130$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 130 + x + 130$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 130$ und $130$ .

$f^{- 1} (13000 - 100 x) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (13000 - 100 x) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{x}{100} + 130)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{x}{100} + 130) = 13000 - 100 (- \frac{x}{100} + 130)$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{x}{100} + 130) = 13000 - 100 (- \frac{x}{100}) - 100 \cdot 130$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{100}$ in den Zähler.

$f (- \frac{x}{100} + 130) = 13000 - 100 \frac{- x}{100} - 100 \cdot 130$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $100$ aus $- 100$ heraus.

$f (- \frac{x}{100} + 130) = 13000 + 100 (- 1) (\frac{- x}{100}) - 100 \cdot 130$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x}{100} + 130) = 13000 + 100 \cdot (- 1 \frac{- x}{100}) - 100 \cdot 130$

Schritt 5.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x}{100} + 130) = 13000 - 1 (- x) - 100 \cdot 130$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{x}{100} + 130) = 13000 + 1 x - 100 \cdot 130$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{x}{100} + 130) = 13000 + x - 100 \cdot 130$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $- 100$ mit $130$ .

$f (- \frac{x}{100} + 130) = 13000 + x - 13000$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $13000 + x - 13000$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $13000$ von $13000$ .

$f (- \frac{x}{100} + 130) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{x}{100} + 130) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{100} + 130$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 13000 - 100 x$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{100} + 130$