Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 1 + \frac{9}{x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 1 + \frac{9}{x}$ als Gleichung.

$y = 1 + \frac{9}{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 1 + \frac{9}{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $1 + \frac{9}{y} = x$ um.

$1 + \frac{9}{y} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{9}{y} = x - 1$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 3.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{9}{y} = x - 1$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{9}{y} = x - 1$ mit $y$ .

$\frac{9}{y} y = x y - y$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{y} y = x y - y$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$9 = x y - y$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x y - y = 9$ um.

$x y - y = 9$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $x y - y$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y x - y = 9$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y x + y \cdot - 1 = 9$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot - 1$ heraus.

$y (x - 1) = 9$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 9$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 9$ durch $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{9}{x - 1}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{9}{x - 1}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{9}{x - 1}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{9}{x - 1}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{9}{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 1 + \frac{9}{x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (1 + \frac{9}{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = \frac{9}{(1 + \frac{9}{x}) - 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = \frac{9}{\frac{9}{x} + 0}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $\frac{9}{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = \frac{9}{\frac{9}{x}}$

Schritt 5.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = 9 (\frac{x}{9})$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = 9 (\frac{x}{9})$

Schritt 5.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{9}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{9}{x - 1}) = 1 + \frac{9}{\frac{9}{x - 1}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{9}{x - 1}) = 1 + 9 (\frac{x - 1}{9})$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9}{x - 1}) = 1 + 9 (\frac{x - 1}{9})$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9}{x - 1}) = 1 + x - 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + x - 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{9}{x - 1}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{9}{x - 1}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{9}{x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 1 + \frac{9}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9}{x - 1}$