Finite Mathematik Beispiele

f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

Schritt 1

Schreibe

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ als Gleichung.

$y = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)}$

Schritt 3

Löse nach

$y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ um.

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(y - 7) (y + 1), 1$

Schritt 3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$(y - 7) (y + 1)$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ mit

$(y - 7) (y + 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ mit

$(y - 7) (y + 1)$ .

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$(y - 7) (y + 1)$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 9 = x ((y - 7) (y + 1))$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Multipliziere

$(y - 7) (y + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 9 = x (y (y + 1) - 7 (y + 1))$

Schritt 3.3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 (y + 1))$

Schritt 3.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Mutltipliziere

$y$ mit

$y$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Mutltipliziere

$y$ mit

$1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7 \cdot 1)$

Schritt 3.3.3.2.1.3

Mutltipliziere

$- 7$ mit

$1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7)$

Schritt 3.3.3.2.2

Subtrahiere

$7 y$ von

$y$ .

$y - 9 = x (y^{2} - 6 y - 7)$

Schritt 3.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 9 = x y^{2} + x (- 6 y) + x \cdot - 7$

Schritt 3.3.3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y + x \cdot - 7$

Schritt 3.3.3.4.2

Bringe

$- 7$ auf die linke Seite von

$x$ .

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 \cdot x$

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

$y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x = y - 9$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere

$y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y = - 9$

Schritt 3.4.3

Addiere

$9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y + 9 = 0$

Schritt 3.4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4.5

Setze die Werte

$a = x$ ,

$b = - 6 x - 1$ und

$c = - 7 x + 9$ in die Quadratformel ein und löse nach

$y$ auf.

$\frac{- (- 6 x - 1) \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 7 x + 9))}}{2 x}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.2

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.4

Schreibe

${(- 6 x - 1)}^{2}$ als

$(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ um.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.5

Multipliziere

$(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.6.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6.1.2

Multipliziere

$x$ mit

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.6.6.1.2.1

Bewege

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6.1.2.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6.1.3

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6.1.5

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6.1.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6.2

Addiere

$6 x$ und

$6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.9

Mutltipliziere

$9$ mit

$- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.6.10.1

Multipliziere

$x$ mit

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.6.10.1.1

Bewege

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.10.1.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.10.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.11

Addiere

$36 x^{2}$ und

$28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.12

Subtrahiere

$36 x$ von

$12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Schritt 3.4.7

Ändere das

$\pm$ zu

$+$ .

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Schritt 3.4.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

$-$ -Teil von

$\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.4.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.2

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.4

Schreibe

${(- 6 x - 1)}^{2}$ als

$(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ um.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.5

Multipliziere

$(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.8.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.8.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.8.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6.1.2

Multipliziere

$x$ mit

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.8.1.6.1.2.1

Bewege

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6.1.2.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6.1.3

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6.1.5

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6.1.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6.2

Addiere

$6 x$ und

$6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.9

Mutltipliziere

$9$ mit

$- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.8.1.10.1

Multipliziere

$x$ mit

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.8.1.10.1.1

Bewege

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.10.1.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.10.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.11

Addiere

$36 x^{2}$ und

$28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.12

Subtrahiere

$36 x$ von

$12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.2

Ändere das

$\pm$ zu

$-$ .

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Schritt 3.4.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Schritt 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ die Umkehrfunktion von

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ und

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen

$y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von

$\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in

$\sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}$ größer als oder gleich

$0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$64 x^{2} - 24 x + 1 \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach

$x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$64 x^{2} - 24 x + 1 = 0$

Schritt 5.3.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.3.2.3

Setze die Werte

$a = 64$ ,

$b = - 24$ und

$c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach

$x$ auf.

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.4.1.1

Potenziere

$- 24$ mit

$2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

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Schritt 5.3.2.4.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4.1.2.2

Mutltipliziere

$- 256$ mit

$1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4.1.3

Subtrahiere

$256$ von

$576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4.1.4

Schreibe

$320$ als

$8^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.4.1.4.1

Faktorisiere

$64$ aus

$320$ heraus.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4.1.4.2

Schreibe

$64$ als

$8^{2}$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Schritt 5.3.2.4.3

Vereinfache

$\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

$+$ -Teil von

$\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.5.1.1

Potenziere

$- 24$ mit

$2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.5.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.5.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.5.1.2.2

Mutltipliziere

$- 256$ mit

$1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.5.1.3

Subtrahiere

$256$ von

$576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.5.1.4

Schreibe

$320$ als

$8^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.5.1.4.1

Faktorisiere

$64$ aus

$320$ heraus.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.5.1.4.2

Schreibe

$64$ als

$8^{2}$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.5.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Schritt 5.3.2.5.3

Vereinfache

$\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.2.5.4

Ändere das

$\pm$ zu

$+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

$-$ -Teil von

$\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.6.1.1

Potenziere

$- 24$ mit

$2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.6.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.6.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.6.1.2.2

Mutltipliziere

$- 256$ mit

$1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.6.1.3

Subtrahiere

$256$ von

$576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.6.1.4

Schreibe

$320$ als

$8^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.6.1.4.1

Faktorisiere

$64$ aus

$320$ heraus.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.6.1.4.2

Schreibe

$64$ als

$8^{2}$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.6.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Schritt 5.3.2.6.3

Vereinfache

$\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.2.6.4

Ändere das

$\pm$ zu

$-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.2.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.9.1

Teste einen Wert im Intervall

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.3.2.9.1.2

Ersetze

$x$ durch

$0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$64 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 1 \geq 0$

Schritt 5.3.2.9.1.3

Die linke Seite

$1$ ist größer als die rechte Seite

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3.2.9.2

Teste einen Wert im Intervall

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.19$

Schritt 5.3.2.9.2.2

Ersetze

$x$ durch

$0.19$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$64 {(0.19)}^{2} - 24 \cdot 0.19 + 1 \geq 0$

Schritt 5.3.2.9.2.3

Die linke Seite

$- 1.2496$ ist kleiner als die rechte Seite

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.3.2.9.3

Teste einen Wert im Intervall

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 5.3.2.9.3.2

Ersetze

$x$ durch

$3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$64 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 1 \geq 0$

Schritt 5.3.2.9.3.3

Die linke Seite

$505$ ist größer als die rechte Seite

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3.2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ Wahr

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Falsch

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Wahr

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ Wahr

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Falsch

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Wahr

Schritt 5.3.2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ oder

$x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

$x \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ oder

$x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.3

Setze den Nenner in

$\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ gleich

$0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x = 0$

Schritt 5.3.4

Teile jeden Ausdruck in

$2 x = 0$ durch

$2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in

$2 x = 0$ durch

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.3.1

Dividiere

$0$ durch

$2$ .

$x = 0$

Schritt 5.3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von

$x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ nicht gleich dem Wertebereich von

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ ist, ist

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ keine inverse Funktion von

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6