Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ als Gleichung.

$y = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ um.

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(y - 7) (y + 1), 1$

Schritt 3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$(y - 7) (y + 1)$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ mit $(y - 7) (y + 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ mit $(y - 7) (y + 1)$ .

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(y - 7) (y + 1)$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 9 = x ((y - 7) (y + 1))$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Multipliziere $(y - 7) (y + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 9 = x (y (y + 1) - 7 (y + 1))$

Schritt 3.3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 (y + 1))$

Schritt 3.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7 \cdot 1)$

Schritt 3.3.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7)$

Schritt 3.3.3.2.2

Subtrahiere $7 y$ von $y$ .

$y - 9 = x (y^{2} - 6 y - 7)$

Schritt 3.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 9 = x y^{2} + x (- 6 y) + x \cdot - 7$

Schritt 3.3.3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y + x \cdot - 7$

Schritt 3.3.3.4.2

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 \cdot x$

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x = y - 9$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y = - 9$

Schritt 3.4.3

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y + 9 = 0$

Schritt 3.4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4.5

Setze die Werte $a = x$ , $b = - 6 x - 1$ und $c = - 7 x + 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (- 6 x - 1) \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 7 x + 9))}}{2 x}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.4

Schreibe ${(- 6 x - 1)}^{2}$ als $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ um.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.5

Multipliziere $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.6.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.6.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.6.2

Addiere $6 x$ und $6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.9

Mutltipliziere $9$ mit $- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.6.10.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.6.10.1.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.10.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.11

Addiere $36 x^{2}$ und $28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.12

Subtrahiere $36 x$ von $12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Schritt 3.4.7

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Schritt 3.4.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.4.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.4

Schreibe ${(- 6 x - 1)}^{2}$ als $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ um.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.5

Multipliziere $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.8.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.8.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.8.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.8.1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.6.2

Addiere $6 x$ und $6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.9

Mutltipliziere $9$ mit $- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.8.1.10.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.8.1.10.1.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.10.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.11

Addiere $36 x^{2}$ und $28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.1.12

Subtrahiere $36 x$ von $12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Schritt 3.4.8.2

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Schritt 3.4.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$64 x^{2} - 24 x + 1 \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$64 x^{2} - 24 x + 1 = 0$

Schritt 5.3.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.3.2.3

Setze die Werte $a = 64$ , $b = - 24$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.4.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

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Schritt 5.3.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 256$ mit $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4.1.3

Subtrahiere $256$ von $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4.1.4

Schreibe $320$ als $8^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.3.2.4.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $320$ heraus.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Schritt 5.3.2.4.3

Vereinfache $\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.5.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 256$ mit $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.5.1.3

Subtrahiere $256$ von $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.5.1.4

Schreibe $320$ als $8^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.5.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $320$ heraus.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.5.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Schritt 5.3.2.5.3

Vereinfache $\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.6.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 256$ mit $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.6.1.3

Subtrahiere $256$ von $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.6.1.4

Schreibe $320$ als $8^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.6.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $320$ heraus.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.6.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Schritt 5.3.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Schritt 5.3.2.6.3

Vereinfache $\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.2.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.3.2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.3.2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$64 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 1 \geq 0$

Schritt 5.3.2.9.1.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3.2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.19$

Schritt 5.3.2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0.19$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$64 {(0.19)}^{2} - 24 \cdot 0.19 + 1 \geq 0$

Schritt 5.3.2.9.2.3

Die linke Seite $- 1.2496$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.3.2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 5.3.2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$64 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 1 \geq 0$

Schritt 5.3.2.9.3.3

Die linke Seite $505$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3.2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ Wahr

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Falsch

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Wahr

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ Wahr

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Falsch

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Wahr

Schritt 5.3.2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ oder $x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Schritt 5.3.3

Setze den Nenner in $\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x = 0$

Schritt 5.3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 5.3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ keine inverse Funktion von $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6