Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ als Gleichung.

$y = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - 5 y + 5 + y (4 y + 3)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- 5 y + 5 + y (4 y + 3) = x$ um.

$- 5 y + 5 + y (4 y + 3) = x$

Schritt 3.2

Vereinfache $- 5 y + 5 + y (4 y + 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 y + 5 + y (4 y) + y \cdot 3 = x$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 5 y + 5 + 4 y \cdot y + y \cdot 3 = x$

Schritt 3.2.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$- 5 y + 5 + 4 y \cdot y + 3 \cdot y = x$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.4.1

Bewege $y$ .

$- 5 y + 5 + 4 (y \cdot y) + 3 \cdot y = x$

Schritt 3.2.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- 5 y + 5 + 4 y^{2} + 3 \cdot y = x$

$- 5 y + 5 + 4 y^{2} + 3 y = x$

Schritt 3.2.2

Addiere $- 5 y$ und $3 y$ .

$- 2 y + 5 + 4 y^{2} = x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y + 5 + 4 y^{2} - x = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 2$ und $c = 5 - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.6.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.6.1.6

Subtrahiere $80$ von $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 76 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.6.1.7

Faktorisiere $4$ aus $- 76 + 16 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 76$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.6.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 4 (4 x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.6.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 19) + 4 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.6.1.8

Schreibe $4 (- 19 + 4 x)$ als $2^{2} (- 19 + 2^{2} x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.6.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 2^{2} x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.6.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 2^{2} x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.6.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.7.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.7.1.6

Subtrahiere $80$ von $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 76 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.7.1.7

Faktorisiere $4$ aus $- 76 + 16 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 76$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.7.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 4 (4 x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.7.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 19) + 4 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.7.1.8

Schreibe $4 (- 19 + 4 x)$ als $2^{2} (- 19 + 2^{2} x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.7.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 2^{2} x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.7.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 2^{2} x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.7.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Schritt 3.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.8.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.8.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.8.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.8.1.6

Subtrahiere $80$ von $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 76 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.8.1.7

Faktorisiere $4$ aus $- 76 + 16 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 76$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.8.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 4 (4 x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.8.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 19) + 4 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.8.1.8

Schreibe $4 (- 19 + 4 x)$ als $2^{2} (- 19 + 2^{2} x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.8.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 2^{2} x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.8.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 2^{2} x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.8.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Schritt 3.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

$y = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ und $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[\frac{19}{4}, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- 19 + 4 x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- 19 + 4 x \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Addiere $19$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x \geq 19$

Schritt 5.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq 19$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq 19$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{19}{4}$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{19}{4}$

Schritt 5.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{19}{4}$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[\frac{19}{4}, \infty)$

Schritt 5.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ der Wertebereich von $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ der Definitionsbereich von $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ die inverse Funktion von $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Schritt 6