Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 5 \log (3) x$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 5 \log (3) x$ als Gleichung.

$y = 5 \log (3) x$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 5 \log (3) y$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $5 \log (3) y = x$ um.

$5 \log (3) y = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $5 \log (3) y = x$ durch $5 \log (3)$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \log (3) y = x$ durch $5 \log (3)$ .

$\frac{5 \log (3) y}{5 \log (3)} = \frac{x}{5 \log (3)}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \log (3) y}{5 \log (3)} = \frac{x}{5 \log (3)}$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\log (3) y}{\log (3)} = \frac{x}{5 \log (3)}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\log (3)$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\log (3) y}{\log (3)} = \frac{x}{5 \log (3)}$

Schritt 3.2.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{5 \log (3)}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache $5 \log (3)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$y = \frac{x}{\log (3^{5})}$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere $3$ mit $5$ .

$y = \frac{x}{\log (243)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{\log (243)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{\log (243)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 5 \log (3) x$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (5 \log (3) x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \log (3) x) = \frac{5 \log (3) x}{\log (243)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache $5 \log (3)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} (5 \log (3) x) = \frac{\log (3^{5}) x}{\log (243)}$

Schritt 5.2.4

Potenziere $3$ mit $5$ .

$f^{- 1} (5 \log (3) x) = \frac{\log (243) x}{\log (243)}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\log (243)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 \log (3) x) = \frac{\log (243) x}{\log (243)}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (5 \log (3) x) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{\log (243)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{\log (243)}) = 5 \log (3) (\frac{x}{\log (243)})$

Schritt 5.3.3

Vereinfache $5 \log (3)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{x}{\log (243)}) = \log (3^{5}) (\frac{x}{\log (243)})$

Schritt 5.3.4

Potenziere $3$ mit $5$ .

$f (\frac{x}{\log (243)}) = \log (243) (\frac{x}{\log (243)})$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\log (243)$ .

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{\log (243)}) = \log (243) (\frac{x}{\log (243)})$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{\log (243)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{\log (243)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 5 \log (3) x$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{\log (243)}$