Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 5 (2 x + 3)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 5 (2 x + 3)$ als Gleichung.

$y = 5 (2 x + 3)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 5 (2 y + 3)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $5 (2 y + 3) = x$ um.

$5 (2 y + 3) = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $5 (2 y + 3) = x$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (2 y + 3) = x$ durch $5$ .

$\frac{5 (2 y + 3)}{5} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (2 y + 3)}{5} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $2 y + 3$ durch $1$ .

$2 y + 3 = \frac{x}{5}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \frac{x}{5} - 3$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \frac{x}{5} - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \frac{x}{5} - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{x}{5}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{x}{5}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{x}{5}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{5}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x}{5 \cdot 2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 5 (2 x + 3)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (5 (2 x + 3))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{5 (2 x + 3)}{10} - \frac{3}{2}$

Schritt 5.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{5 (2 x + 3)}{5 \cdot 2} - \frac{3}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{5 (2 x + 3)}{5 \cdot 2} - \frac{3}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x + 3 - 3}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 3 - 3$ .

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Schritt 5.2.5.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) + 3)$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{10}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{2 (5)}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{2 \cdot 5}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3)$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3)$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} - 3 + 3)$

Schritt 5.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{x}{5} - 3 + 3$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 0)$

Schritt 5.3.4.1.2

Addiere $\frac{x}{5}$ und $0$ .

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5})$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5})$

Schritt 5.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 5 (2 x + 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$