Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{2} \cdot \log (4 y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y)) = 2 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y))$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\log (4 y)$ .

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

Schritt 3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log (4 y) = 2 x$

Schritt 3.4

Schreibe $\log (4 y) = 2 x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{2 x} = 4 y$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $4 y = 10^{2 x}$ um.

$4 y = 10^{2 x}$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 10^{2 x}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 10^{2 x}$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{10^{2 x}}{4}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))}}{4}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2}) \cdot \log (4 x)}}{4}$

Schritt 5.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{1 \cdot \log (4 x)}}{4}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache $1 \cdot \log (4 x)$ , indem du $1$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{\log ({(4 x)}^{1})}}{4}$

Schritt 5.2.3.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{10^{2 x}}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (10^{2 x})$

Schritt 5.3.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $2 x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \log (10))$

Schritt 5.3.5

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Schritt 5.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$