Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = (\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = (\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}$ als Gleichung.

$y = (\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = (\frac{2}{9}) y - \frac{1}{9}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2}{9} y - \frac{1}{9} = x$ um.

$\frac{2}{9} y - \frac{1}{9} = x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{2}{9}$ und $y$ .

$\frac{2 y}{9} - \frac{1}{9} = x$

Schritt 3.3

Addiere $\frac{1}{9}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 y}{9} = x + \frac{1}{9}$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 y}{9} = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $\frac{9}{2} \cdot \frac{2 y}{9}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 y}{9} = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Schritt 3.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Schritt 3.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $\frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Schritt 3.5.2.1.2

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Schritt 3.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Schritt 3.5.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = (\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{9 ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9})}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{9 ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) + 1}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $\frac{2}{9}$ und $x$ .

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{9 (\frac{2 x}{9} - \frac{1}{9}) + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{9 (\frac{2 x}{9}) + 9 (- \frac{1}{9}) + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{9 (\frac{2 x}{9}) + 9 (- \frac{1}{9}) + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x + 9 (- \frac{1}{9}) + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{9}$ in den Zähler.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x + 9 (\frac{- 1}{9}) + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x + 9 (\frac{- 1}{9}) + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 1 + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = (\frac{2}{9}) (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{1}{9}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{9 x}{2} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{9 x}{2} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{9} \cdot (9 x) + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{9} \cdot (9 (x)) + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{9} \cdot (9 x) + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + \frac{1 - 1}{9}$

Schritt 5.3.4.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + \frac{0}{9}$

Schritt 5.3.4.3

Dividiere $0$ durch $9$ .

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.4

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = (\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}$