Finite Mathematik Beispiele

$C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$

Schritt 1

Schreibe $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ als Gleichung.

$y = 60 e^{- 0.14 t}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$t = 60 e^{- 0.14 y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $60 e^{- 0.14 y} = t$ um.

$60 e^{- 0.14 y} = t$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $60 e^{- 0.14 y} = t$ durch $60$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $60 e^{- 0.14 y} = t$ durch $60$ .

$\frac{60 e^{- 0.14 y}}{60} = \frac{t}{60}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $60$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{60 e^{- 0.14 y}}{60} = \frac{t}{60}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $e^{- 0.14 y}$ durch $1$ .

$e^{- 0.14 y} = \frac{t}{60}$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 0.14 y}) = \ln (\frac{t}{60})$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{- 0.14 y})$ durch Herausziehen von $- 0.14 y$ aus dem Logarithmus.

$- 0.14 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{60})$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- 0.14 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{60})$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 0.14$ mit $1$ .

$- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$ durch $- 0.14$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$ durch $- 0.14$ .

$\frac{- 0.14 y}{- 0.14} = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.14$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.14 y}{- 0.14} = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{\ln (\frac{t}{60})}{0.14}$

Schritt 3.5.3.2

Multipliziere mit $1$ .

$y = - \frac{1 \ln (\frac{t}{60})}{0.14}$

Schritt 3.5.3.3

Faktorisiere $0.14$ aus $0.14$ heraus.

$y = - \frac{1 \ln (\frac{t}{60})}{0.14 (1)}$

Schritt 3.5.3.4

Separiere Brüche.

$y = - (\frac{1}{0.14} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{60})}{1})$

Schritt 3.5.3.5

Dividiere $1$ durch $0.14$ .

$y = - (7.\overline{142857} \frac{\ln (\frac{t}{60})}{1})$

Schritt 3.5.3.6

Dividiere $\ln (\frac{t}{60})$ durch $1$ .

$y = - (7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))$

Schritt 3.5.3.7

Mutltipliziere $7.\overline{142857}$ mit $- 1$ .

$y = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$

Schritt 4

Replace $y$ with $C^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$

Schritt 5

Überprüfe, ob $C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ die Umkehrfunktion von $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $C^{- 1} (C (t)) = t$ ist und $C (C^{- 1} (t)) = t$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $C^{- 1} (C (t))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$C^{- 1} (C (t))$

Schritt 5.2.2

Berechne $C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t})$ durch Einsetzen des Wertes von $C$ in $C^{- 1}$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{60 e^{- 0.14 t}}{60})$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $60$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{60 e^{- 0.14 t}}{60})$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $e^{- 0.14 t}$ durch $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (e^{- 0.14 t})$

Schritt 5.2.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 0.14 t$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t \ln (e))$

Schritt 5.2.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t \cdot 1)$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $- 0.14$ mit $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t)$

Schritt 5.2.7

Multipliziere $- 7.\overline{142857} (- 0.14 t)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Mutltipliziere $- 0.14$ mit $- 7.\overline{142857}$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = 1 t$

Schritt 5.2.7.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = t$

Schritt 5.3

Berechne $C (C^{- 1} (t))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$C (C^{- 1} (t))$

Schritt 5.3.2

Berechne $C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))$ durch Einsetzen des Wertes von $C^{- 1}$ in $C$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache $- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ , indem du $7.\overline{142857}$ in den Logarithmus ziehst.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln ({(\frac{t}{60})}^{7.\overline{142857}}))}$

Schritt 5.3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{t}{60}$ an.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{60^{7.\overline{142857}}}))}$

Schritt 5.3.5

Potenziere $60$ mit $7.\overline{142857}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33}))}$

Schritt 5.3.6

Multipliziere mit $1$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1 t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33}))}$

Schritt 5.3.7

Faktorisiere $5024355493192.33$ aus $5024355493192.33$ heraus.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1 t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33 (1)}))}$

Schritt 5.3.8

Separiere Brüche.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1}{5024355493192.33} \cdot \frac{t^{7.\overline{142857}}}{1}))}$

Schritt 5.3.9

Dividiere $1$ durch $5024355493192.33$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (0 (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{1})))}$

Schritt 5.3.10

Dividiere $t^{7.\overline{142857}}$ durch $1$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (0 t^{7.\overline{142857}}))}$

Schritt 5.3.11

Multipliziere $- 0.14 (- \ln (0 t^{7.\overline{142857}}))$ .

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Schritt 5.3.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.14$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{0.14 \ln (0 t^{7.\overline{142857}})}$

Schritt 5.3.11.2

Vereinfache $0.14 \ln (0 t^{7.\overline{142857}})$ , indem du $0.14$ in den Logarithmus ziehst.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{\ln ({(0 t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})}$

Schritt 5.3.12

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 {(0 t^{7.\overline{142857}})}^{0.14}$

Schritt 5.3.13

Wende die Produktregel auf $0 t^{7.\overline{142857}}$ an.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0^{0.14} {(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})$

Schritt 5.3.14

Potenziere $0$ mit $0.14$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} {(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})$

Schritt 5.3.15

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14}$ .

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Schritt 5.3.15.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} t^{7.\overline{142857} \cdot 0.14})$

Schritt 5.3.15.2

Mutltipliziere $7.\overline{142857}$ mit $0.14$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} t)$

Schritt 5.3.16

Mutltipliziere $0.01\overline{6}$ mit $60$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 1 t$

Schritt 5.4

Da $C^{- 1} (C (t)) = t$ und $C (C^{- 1} (t)) = t$ gleich sind, ist $C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ .

$C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$