Finite Mathematik Beispiele

$25 x + 15 y = 975$

Schritt 1

Subtrahiere $25 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$15 y = 975 - 25 x$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $15 y = 975 - 25 x$ durch $15$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $15 y = 975 - 25 x$ durch $15$ .

$\frac{15 y}{15} = \frac{975}{15} + \frac{- 25 x}{15}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 y}{15} = \frac{975}{15} + \frac{- 25 x}{15}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{975}{15} + \frac{- 25 x}{15}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Dividiere $975$ durch $15$ .

$y = 65 + \frac{- 25 x}{15}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 25$ und $15$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 25 x$ heraus.

$y = 65 + \frac{5 (- 5 x)}{15}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$y = 65 + \frac{5 (- 5 x)}{5 (3)}$

Schritt 2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 65 + \frac{5 (- 5 x)}{5 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 65 + \frac{- 5 x}{3}$

Schritt 2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 65 - \frac{5 x}{3}$

Schritt 3

Vertausche die Variablen.

$x = 65 - \frac{5 y}{3}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $65 - \frac{5 y}{3} = x$ um.

$65 - \frac{5 y}{3} = x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $65$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{5 y}{3} = x - 65$

Schritt 4.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{3}{5}$ .

$- \frac{3}{5} (- \frac{5 y}{3}) = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Schritt 4.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache $- \frac{3}{5} (- \frac{5 y}{3})$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{5}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{5} (- \frac{5 y}{3}) = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Schritt 4.4.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 y}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{5} \cdot \frac{- 5 y}{3} = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Schritt 4.4.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{3} = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Schritt 4.4.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{3} = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Schritt 4.4.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{5} (- 5 y) = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Schritt 4.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.4.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 y$ heraus.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Schritt 4.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Schritt 4.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Schritt 4.4.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 4.4.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Schritt 4.4.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache $- \frac{3}{5} (x - 65)$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3}{5} x - \frac{3}{5} \cdot - 65$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} - \frac{3}{5} \cdot - 65$

Schritt 4.4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.4.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{5}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot - 65$

Schritt 4.4.2.1.1.3.2

Faktorisiere $5$ aus $- 65$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 (- 13))$

Schritt 4.4.2.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot - 13)$

Schritt 4.4.2.1.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} - 3 \cdot - 13$

Schritt 4.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 13$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + 39$

Schritt 4.4.2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + 39$

Schritt 5

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{5} + 39$

Schritt 6

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{5} + 39$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 65 - \frac{5 x}{3}$ ist.

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Schritt 6.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 6.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 6.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 6.2.2

Berechne $f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - \frac{3 (65 - \frac{5 x}{3})}{5} + 39$

Schritt 6.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $65 - \frac{5 x}{3}$ und $5$ .

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Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $3 (65 - \frac{5 x}{3})$ heraus.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - \frac{5 (3 (13 - \frac{x}{3}))}{5} + 39$

Schritt 6.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - \frac{5 (3 (13 - \frac{x}{3}))}{5 (1)} + 39$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - \frac{5 (3 (13 - \frac{x}{3}))}{5 \cdot 1} + 39$

Schritt 6.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - \frac{3 (13 - \frac{x}{3})}{1} + 39$

Schritt 6.2.3.1.2.4

Dividiere $3 (13 - \frac{x}{3})$ durch $1$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (3 (13 - \frac{x}{3})) + 39$

Schritt 6.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (3 \cdot 13 + 3 (- \frac{x}{3})) + 39$

Schritt 6.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $13$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (39 + 3 (- \frac{x}{3})) + 39$

Schritt 6.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{3}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (39 + 3 (\frac{- x}{3})) + 39$

Schritt 6.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (39 + 3 (\frac{- x}{3})) + 39$

Schritt 6.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (39 - x) + 39$

Schritt 6.2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - 1 \cdot 39 + x + 39$

Schritt 6.2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $39$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - 39 + x + 39$

Schritt 6.2.3.7

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 6.2.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - 39 + 1 x + 39$

Schritt 6.2.3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - 39 + x + 39$

Schritt 6.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 39 + x + 39$ .

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Schritt 6.2.4.1

Addiere $- 39$ und $39$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = x + 0$

Schritt 6.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = x$

Schritt 6.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 6.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 6.3.2

Berechne $f (- \frac{3 x}{5} + 39)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - \frac{5 (- \frac{3 x}{5} + 39)}{3}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- \frac{3 x}{5} + 39$ und $3$ .

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Schritt 6.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $5 (- \frac{3 x}{5} + 39)$ heraus.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - \frac{3 (5 (- \frac{x}{5} + 13))}{3}$

Schritt 6.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - \frac{3 (5 (- \frac{x}{5} + 13))}{3 (1)}$

Schritt 6.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - \frac{3 (5 (- \frac{x}{5} + 13))}{3 \cdot 1}$

Schritt 6.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - \frac{5 (- \frac{x}{5} + 13)}{1}$

Schritt 6.3.3.1.2.4

Dividiere $5 (- \frac{x}{5} + 13)$ durch $1$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (5 (- \frac{x}{5} + 13))$

Schritt 6.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (5 (- \frac{x}{5}) + 5 \cdot 13)$

Schritt 6.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{5}$ in den Zähler.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (5 (\frac{- x}{5}) + 5 \cdot 13)$

Schritt 6.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (5 (\frac{- x}{5}) + 5 \cdot 13)$

Schritt 6.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (- x + 5 \cdot 13)$

Schritt 6.3.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $13$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (- x + 65)$

Schritt 6.3.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 + x - 1 \cdot 65$

Schritt 6.3.3.6

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 6.3.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 + 1 x - 1 \cdot 65$

Schritt 6.3.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 + x - 1 \cdot 65$

Schritt 6.3.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $65$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 + x - 65$

Schritt 6.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $65 + x - 65$ .

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Schritt 6.3.4.1

Subtrahiere $65$ von $65$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = x + 0$

Schritt 6.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = x$

Schritt 6.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{5} + 39$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 65 - \frac{5 x}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{5} + 39$