Finite Mathematik Beispiele

$P (x) = 15 \sqrt{x - 1} + 3$

Schritt 1

Schreibe $P (x) = 15 \sqrt{x - 1} + 3$ als Gleichung.

$y = 15 \sqrt{x - 1} + 3$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 15 \sqrt{y - 1} + 3$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $15 \sqrt{y - 1} + 3 = x$ um.

$15 \sqrt{y - 1} + 3 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$15 \sqrt{y - 1} = x - 3$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(15 \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y - 1}$ als ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(15 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(15 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $15 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$15^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$225 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$225 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$225 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$225 {(y - 1)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.4

Vereinfache.

$225 (y - 1) = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$225 y + 225 \cdot - 1 = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.6

Mutltipliziere $225$ mit $- 1$ .

$225 y - 225 = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - 3)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 3)}^{2}$ als $(x - 3) (x - 3)$ um.

$225 y - 225 = (x - 3) (x - 3)$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$225 y - 225 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$225 y - 225 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$225 y - 225 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$225 y - 225 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$225 y - 225 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$225 y - 225 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Schritt 3.4.3.1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$225 y - 225 = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1.1

Addiere $225$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$225 y = x^{2} - 6 x + 9 + 225$

Schritt 3.5.1.2

Addiere $9$ und $225$ .

$225 y = x^{2} - 6 x + 234$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $225 y = x^{2} - 6 x + 234$ durch $225$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $225 y = x^{2} - 6 x + 234$ durch $225$ .

$\frac{225 y}{225} = \frac{x^{2}}{225} + \frac{- 6 x}{225} + \frac{234}{225}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $225$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{225 y}{225} = \frac{x^{2}}{225} + \frac{- 6 x}{225} + \frac{234}{225}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{225} + \frac{- 6 x}{225} + \frac{234}{225}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $225$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{225} + \frac{3 (- 2 x)}{225} + \frac{234}{225}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $225$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{225} + \frac{3 (- 2 x)}{3 (75)} + \frac{234}{225}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{225} + \frac{3 (- 2 x)}{3 \cdot 75} + \frac{234}{225}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{225} + \frac{- 2 x}{75} + \frac{234}{225}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{234}{225}$

Schritt 3.5.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $234$ und $225$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.3.1

Faktorisiere $9$ aus $234$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{9 (26)}{225}$

Schritt 3.5.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $9$ aus $225$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot 25}$

Schritt 3.5.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot 25}$

Schritt 3.5.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $P^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$P^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $P^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}$ die Umkehrfunktion von $P (x) = 15 \sqrt{x - 1} + 3$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $P^{- 1} (P (x)) = x$ ist und $P (P^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $P^{- 1} (P (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$P^{- 1} (P (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $P$ in $P^{- 1}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(15 \sqrt{x - 1} + 3)}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $15 \sqrt{x - 1} + 3$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $15 \sqrt{x - 1}$ heraus.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(3 (5 \sqrt{x - 1}) + 3)}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Schritt 5.2.3.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(3 (5 \sqrt{x - 1}) + 3 (1))}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Schritt 5.2.3.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (5 \sqrt{x - 1}) + 3 (1)$ heraus.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(3 (5 \sqrt{x - 1} + 1))}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $3 (5 \sqrt{x - 1} + 1)$ an.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{3^{2} {(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Schritt 5.2.3.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{9 {(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $225$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9 {(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}$ heraus.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{9 ({(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2})}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $225$ heraus.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{9 {(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{9 \cdot 25} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{9 {(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{9 \cdot 25} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{25} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Schritt 5.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15 \sqrt{x - 1} + 3$ und $75$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)$ heraus.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{25} - \frac{3 (2 (5 \sqrt{x - 1} + 1))}{75} + \frac{26}{25}$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $75$ heraus.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{25} - \frac{3 (2 (5 \sqrt{x - 1} + 1))}{3 (25)} + \frac{26}{25}$

Schritt 5.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{25} - \frac{3 (2 (5 \sqrt{x - 1} + 1))}{3 \cdot 25} + \frac{26}{25}$

Schritt 5.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{25} - \frac{2 (5 \sqrt{x - 1} + 1)}{25} + \frac{26}{25}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2} - 2 (5 \sqrt{x - 1} + 1) + 26}{25}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2} - 2 (5 \sqrt{x - 1}) - 2 \cdot 1 + 26}{25}$

Schritt 5.2.3.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2} - 10 \sqrt{x - 1} - 2 \cdot 1 + 26}{25}$

Schritt 5.2.3.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2} - 10 \sqrt{x - 1} - 2 + 26}{25}$

Schritt 5.2.3.4

Addiere $- 2$ und $26$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2} - 10 \sqrt{x - 1} + 24}{25}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Es sei $u = \sqrt{x - 1}$ . Ersetze $u$ für alle $\sqrt{x - 1}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 u^{2} + 25}{25}$

Schritt 5.2.4.2

Faktorisiere $25$ aus $25 u^{2} + 25$ heraus.

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Schritt 5.2.4.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25 u^{2}$ heraus.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 (u^{2}) + 25}{25}$

Schritt 5.2.4.2.2

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 (u^{2}) + 25 (1)}{25}$

Schritt 5.2.4.2.3

Faktorisiere $25$ aus $25 (u^{2}) + 25 (1)$ heraus.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 (u^{2} + 1)}{25}$

Schritt 5.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $\sqrt{x - 1}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ({\sqrt{x - 1}}^{2} + 1)}{25}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinfache.

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Schritt 5.2.4.4.1

Schreibe ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ als $x - 1$ um.

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Schritt 5.2.4.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ({({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1)}{25}$

Schritt 5.2.4.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ({(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1)}{25}$

Schritt 5.2.4.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ({(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1)}{25}$

Schritt 5.2.4.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ({(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1)}{25}$

Schritt 5.2.4.4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ((x - 1) + 1)}{25}$

Schritt 5.2.4.4.1.5

Vereinfache.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 (x - 1 + 1)}{25}$

Schritt 5.2.4.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.4.4.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 (x + 0)}{25}$

Schritt 5.2.4.4.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 x}{25}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 x}{25}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = x$

Schritt 5.3

Berechne $P (P^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$P (P^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25})$ durch Einsetzen des Wertes von $P^{- 1}$ in $P$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{(\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) - 1} + 3$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25} - 1 \cdot \frac{25}{25}} + 3$

Schritt 5.3.3.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{25}{25}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25} + \frac{- 1 \cdot 25}{25}} + 3$

Schritt 5.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26 - 1 \cdot 25}{25}} + 3$

Schritt 5.3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26 - 25}{25}} + 3$

Schritt 5.3.3.4.2

Subtrahiere $25$ von $26$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{1}{25}} + 3$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.3.5.1

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{15^{2}} - \frac{2 x}{75} + \frac{1}{25}} + 3$

Schritt 5.3.3.5.2

Schreibe $\frac{x^{2}}{15^{2}}$ als ${(\frac{x}{15})}^{2}$ um.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15})}^{2} - \frac{2 x}{75} + \frac{1}{25}} + 3$

Schritt 5.3.3.5.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15})}^{2} - \frac{2 x}{75} + \frac{1^{2}}{25}} + 3$

Schritt 5.3.3.5.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15})}^{2} - \frac{2 x}{75} + \frac{1^{2}}{5^{2}}} + 3$

Schritt 5.3.3.5.5

Schreibe $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ als ${(\frac{1}{5})}^{2}$ um.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15})}^{2} - \frac{2 x}{75} + {(\frac{1}{5})}^{2}} + 3$

Schritt 5.3.3.5.6

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$\frac{2 x}{75} = 2 \cdot \frac{x}{15} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5.3.3.5.7

Schreibe das Polynom neu.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15})}^{2} - 2 \cdot \frac{x}{15} \cdot \frac{1}{5} + {(\frac{1}{5})}^{2}} + 3$

Schritt 5.3.3.5.8

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = \frac{x}{15}$ und $b = \frac{1}{5}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15} - \frac{1}{5})}^{2}} + 3$

Schritt 5.3.3.6

Um $- \frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})}^{2}} + 3$

Schritt 5.3.3.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})}^{2}} + 3$

Schritt 5.3.3.7.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15} - \frac{3}{15})}^{2}} + 3$

Schritt 5.3.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x - 3}{15})}^{2}} + 3$

Schritt 5.3.3.9

Wende die Produktregel auf $\frac{x - 3}{15}$ an.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{15^{2}}} + 3$

Schritt 5.3.3.10

Potenziere $15$ mit $2$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{225}} + 3$

Schritt 5.3.3.11

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{15^{2}}} + 3$

Schritt 5.3.3.12

Schreibe $\frac{{(x - 3)}^{2}}{15^{2}}$ als ${(\frac{x - 3}{15})}^{2}$ um.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x - 3}{15})}^{2}} + 3$

Schritt 5.3.3.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 (\frac{x - 3}{15}) + 3$

Schritt 5.3.3.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 5.3.3.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 (\frac{x - 3}{15}) + 3$

Schritt 5.3.3.14.2

Forme den Ausdruck um.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = x - 3 + 3$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 + 3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = x$

Schritt 5.4

Da $P^{- 1} (P (x)) = x$ und $P (P^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $P^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $P (x) = 15 \sqrt{x - 1} + 3$ .

$P^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}$