Finite Mathematik Beispiele

$h (x) = x^{5} + 9$

Schritt 1

Schreibe $h (x) = x^{5} + 9$ als Gleichung.

$y = x^{5} + 9$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = y^{5} + 9$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y^{5} + 9 = x$ um.

$y^{5} + 9 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{5} = x - 9$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[5]{x - 9}$

Schritt 4

Replace $y$ with $h^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$h^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x - 9}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $h^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x - 9}$ die Umkehrfunktion von $h (x) = x^{5} + 9$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $h^{- 1} (h (x)) = x$ ist und $h (h^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $h^{- 1} (h (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$h^{- 1} (h (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $h^{- 1} (x^{5} + 9)$ durch Einsetzen des Wertes von $h$ in $h^{- 1}$ .

$h^{- 1} (x^{5} + 9) = \sqrt[5]{(x^{5} + 9) - 9}$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$h^{- 1} (x^{5} + 9) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Schritt 5.2.4

Addiere $x^{5}$ und $0$ .

$h^{- 1} (x^{5} + 9) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Schritt 5.2.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$h^{- 1} (x^{5} + 9) = x$

Schritt 5.3

Berechne $h (h^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$h (h^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $h (\sqrt[5]{x - 9})$ durch Einsetzen des Wertes von $h^{- 1}$ in $h$ .

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = {(\sqrt[5]{x - 9})}^{5} + 9$

Schritt 5.3.3

Schreibe ${\sqrt[5]{x - 9}}^{5}$ als $x - 9$ um.

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Schritt 5.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x - 9}$ als ${(x - 9)}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = {({(x - 9)}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 9$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = {(x - 9)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 9$

Schritt 5.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = {(x - 9)}^{\frac{5}{5}} + 9$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = {(x - 9)}^{\frac{5}{5}} + 9$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = (x - 9) + 9$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache.

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = x - 9 + 9$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 9 + 9$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = x$

Schritt 5.4

Da $h^{- 1} (h (x)) = x$ und $h (h^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $h^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x - 9}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $h (x) = x^{5} + 9$ .

$h^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x - 9}$