Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ als Gleichung.

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ um.

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

Schritt 3.2

Ersetze $\sqrt{e^{y} + 1}$ durch $u$ .

$\sin (u) = x$

Schritt 3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $u$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$u = \arcsin (x)$

Schritt 3.4

Setze $\sqrt{e^{y} + 1}$ für $u$ ein und löse $\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$

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Schritt 3.4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{e^{y} + 1}$ als ${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Vereinfache ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Vereinfache.

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

Schritt 3.4.3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Schritt 3.4.3.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.3.3.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Schritt 3.4.3.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Schritt 3.4.3.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

Schritt 5.3.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

Schritt 5.3.4

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

Schritt 5.3.5

Addiere ${\arcsin (x)}^{2}$ und $0$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

Schritt 5.3.7

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$