Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 15000 + 1.5 x$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 15000 + 1.5 x$ als Gleichung.

$y = 15000 + 1.5 x$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 15000 + 1.5 y$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $15000 + 1.5 y = x$ um.

$15000 + 1.5 y = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $15000$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1.5 y = x - 15000$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $1.5 y = x - 15000$ durch $1.5$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $1.5 y = x - 15000$ durch $1.5$ .

$\frac{1.5 y}{1.5} = \frac{x}{1.5} + \frac{- 15000}{1.5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1.5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1.5 y}{1.5} = \frac{x}{1.5} + \frac{- 15000}{1.5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{1.5} + \frac{- 15000}{1.5}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{1 x}{1.5} + \frac{- 15000}{1.5}$

Schritt 3.3.3.1.2

Faktorisiere $1.5$ aus $1.5$ heraus.

$y = \frac{1 x}{1.5 (1)} + \frac{- 15000}{1.5}$

Schritt 3.3.3.1.3

Separiere Brüche.

$y = \frac{1}{1.5} \cdot \frac{x}{1} + \frac{- 15000}{1.5}$

Schritt 3.3.3.1.4

Dividiere $1$ durch $1.5$ .

$y = 0.\overline{6} \frac{x}{1} + \frac{- 15000}{1.5}$

Schritt 3.3.3.1.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y = 0.\overline{6} x + \frac{- 15000}{1.5}$

Schritt 3.3.3.1.6

Dividiere $- 15000$ durch $1.5$ .

$y = 0.\overline{6} x - 10000$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 0.\overline{6} x - 10000$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 0.\overline{6} x - 10000$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 15000 + 1.5 x$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (15000 + 1.5 x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (15000 + 1.5 x) = 0.\overline{6} (15000 + 1.5 x) - 10000$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (15000 + 1.5 x) = 0.\overline{6} \cdot 15000 + 0.\overline{6} (1.5 x) - 10000$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $0.\overline{6}$ mit $15000$ .

$f^{- 1} (15000 + 1.5 x) = 10000 + 0.\overline{6} (1.5 x) - 10000$

Schritt 5.2.3.3

Multipliziere $0.\overline{6} (1.5 x)$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Mutltipliziere $1.5$ mit $0.\overline{6}$ .

$f^{- 1} (15000 + 1.5 x) = 10000 + 1 x - 10000$

Schritt 5.2.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (15000 + 1.5 x) = 10000 + x - 10000$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $10000$ von $10000$ .

$f^{- 1} (15000 + 1.5 x) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (15000 + 1.5 x) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (0.\overline{6} x - 10000)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (0.\overline{6} x - 10000) = 15000 + 1.5 (0.\overline{6} x - 10000)$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (0.\overline{6} x - 10000) = 15000 + 1.5 (0.\overline{6} x) + 1.5 \cdot - 10000$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere $1.5 (0.\overline{6} x)$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Mutltipliziere $0.\overline{6}$ mit $1.5$ .

$f (0.\overline{6} x - 10000) = 15000 + 1 x + 1.5 \cdot - 10000$

Schritt 5.3.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (0.\overline{6} x - 10000) = 15000 + x + 1.5 \cdot - 10000$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $1.5$ mit $- 10000$ .

$f (0.\overline{6} x - 10000) = 15000 + x - 15000$

Schritt 5.3.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $15000$ von $15000$ .

$f (0.\overline{6} x - 10000) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (0.\overline{6} x - 10000) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 0.\overline{6} x - 10000$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 15000 + 1.5 x$ .

$f^{- 1} (x) = 0.\overline{6} x - 10000$