Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 1.5 x^{2} - 4$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ als Gleichung.

$y = 1.5 x^{2} - 4$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 1.5 y^{2} - 4$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $1.5 y^{2} - 4 = x$ um.

$1.5 y^{2} - 4 = x$

Schritt 3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$1.5 y^{2} = x + 4$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $1.5 y^{2} = x + 4$ durch $1.5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $1.5 y^{2} = x + 4$ durch $1.5$ .

$\frac{1.5 y^{2}}{1.5} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1.5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1.5 y^{2}}{1.5} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$y^{2} = \frac{1 x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Schritt 3.3.3.1.2

Faktorisiere $1.5$ aus $1.5$ heraus.

$y^{2} = \frac{1 x}{1.5 (1)} + \frac{4}{1.5}$

Schritt 3.3.3.1.3

Separiere Brüche.

$y^{2} = \frac{1}{1.5} \cdot \frac{x}{1} + \frac{4}{1.5}$

Schritt 3.3.3.1.4

Dividiere $1$ durch $1.5$ .

$y^{2} = 0.\overline{6} \frac{x}{1} + \frac{4}{1.5}$

Schritt 3.3.3.1.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y^{2} = 0.\overline{6} x + \frac{4}{1.5}$

Schritt 3.3.3.1.6

Dividiere $4$ durch $1.5$ .

$y^{2} = 0.\overline{6} x + 2.\overline{6}$

Schritt 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ und $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- 4, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$0.\overline{6} x + 2.\overline{6} \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $2.\overline{6}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$

Schritt 5.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$ durch $0.\overline{6}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$ durch $0.\overline{6}$ .

$\frac{0.\overline{6} x}{0.\overline{6}} \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.\overline{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.\overline{6} x}{0.\overline{6}} \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

Schritt 5.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

Schritt 5.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.3.1

Dividiere $- 2.\overline{6}$ durch $0.\overline{6}$ .

$x \geq - 4$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 4, \infty)$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ keine inverse Funktion von $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6