Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ als Gleichung.

$y = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{8 y}{y^{2} - 64}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $y^{2} - 64$ .

$(y^{2} - 64) (x) = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} x - 64 x = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $(\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1.1.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{y^{2} - 8^{2}} (y^{2} - 64)$

Schritt 3.3.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)} (y^{2} - 64)$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)}$ mit $y^{2} - 64$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 64)}{(y + 8) (y - 8)}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.3.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 8^{2})}{(y + 8) (y - 8)}$

Schritt 3.3.1.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Schritt 3.3.1.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 8$ .

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Schritt 3.3.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Schritt 3.3.1.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Schritt 3.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 8$ .

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Schritt 3.3.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Schritt 3.3.1.4.2.2

Dividiere $8 y$ durch $1$ .

$y^{2} x - 64 x = 8 y$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $8 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} x - 64 x - 8 y = 0$

Schritt 3.4.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4.3

Setze die Werte $a = x$ , $b = - 8$ und $c = - 64 x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 64 x))}}{2 x}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Schritt 3.4.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Schritt 3.4.4.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.4.1.3.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Schritt 3.4.4.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Schritt 3.4.4.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Schritt 3.4.4.1.5

Faktorisiere $64$ aus $64 + 256 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.4.4.1.5.1

Faktorisiere $64$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Schritt 3.4.4.1.5.2

Faktorisiere $64$ aus $256 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Schritt 3.4.4.1.5.3

Faktorisiere $64$ aus $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Schritt 3.4.4.1.6

Schreibe $64 (1 + 4 x^{2})$ als $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ um.

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Schritt 3.4.4.1.6.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Schritt 3.4.4.1.6.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Schritt 3.4.4.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Schritt 3.4.4.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Schritt 3.4.5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Schritt 3.4.5.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.5.1.3.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Schritt 3.4.5.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Schritt 3.4.5.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Schritt 3.4.5.1.5

Faktorisiere $64$ aus $64 + 256 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.4.5.1.5.1

Faktorisiere $64$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Schritt 3.4.5.1.5.2

Faktorisiere $64$ aus $256 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Schritt 3.4.5.1.5.3

Faktorisiere $64$ aus $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Schritt 3.4.5.1.6

Schreibe $64 (1 + 4 x^{2})$ als $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ um.

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Schritt 3.4.5.1.6.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Schritt 3.4.5.1.6.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Schritt 3.4.5.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Schritt 3.4.5.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Schritt 3.4.5.2

Vereinfache $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Schritt 3.4.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Schritt 3.4.5.4

Faktorisiere $4$ aus $4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ heraus.

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Schritt 3.4.5.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Schritt 3.4.5.4.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ heraus.

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.6.1.3.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.1.5

Faktorisiere $64$ aus $64 + 256 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.4.6.1.5.1

Faktorisiere $64$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.1.5.2

Faktorisiere $64$ aus $256 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.1.5.3

Faktorisiere $64$ aus $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.1.6

Schreibe $64 (1 + 4 x^{2})$ als $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ um.

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Schritt 3.4.6.1.6.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.1.6.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Schritt 3.4.6.2

Vereinfache $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Schritt 3.4.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Schritt 3.4.6.4

Faktorisiere $4$ aus $4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ heraus.

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Schritt 3.4.6.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{4 (1) - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Schritt 3.4.6.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ heraus.

$y = \frac{4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Schritt 3.4.6.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})$ heraus.

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Schritt 3.4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 + 4 x^{2} \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x^{2} \geq - 1$

Schritt 5.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} \geq - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} \geq - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} \geq - \frac{1}{4}$

Schritt 5.3.2.3

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 5.3.3

Setze den Nenner in $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 5.3.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ keine inverse Funktion von $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6