Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3 x - 4}{7 - x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3 x - 4}{7 - x}$ als Gleichung.

$y = \frac{3 x - 4}{7 - x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3 y - 4}{7 - y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 y - 4}{7 - y} = x$ um.

$\frac{3 y - 4}{7 - y} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$7 - y, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$7 - y, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$7 - y$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 y - 4}{7 - y} = x$ mit $7 - y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 y - 4}{7 - y} = x$ mit $7 - y$ .

$\frac{3 y - 4}{7 - y} (7 - y) = x (7 - y)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 - y$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y - 4}{7 - y} (7 - y) = x (7 - y)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y - 4 = x (7 - y)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y - 4 = x \cdot 7 + x (- y)$

Schritt 3.3.3.2

Stelle um.

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Schritt 3.3.3.2.1

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 y - 4 = 7 \cdot x + x (- y)$

Schritt 3.3.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 y - 4 = 7 x - x y$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Addiere $x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y - 4 + x y = 7 x$

Schritt 3.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y + x y = 7 x + 4$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $3 y + x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y$ heraus.

$y \cdot 3 + x y = 7 x + 4$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y \cdot 3 + y x = 7 x + 4$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 3 + y x$ heraus.

$y (3 + x) = 7 x + 4$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (3 + x) = 7 x + 4$ durch $3 + x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (3 + x) = 7 x + 4$ durch $3 + x$ .

$\frac{y (3 + x)}{3 + x} = \frac{7 x}{3 + x} + \frac{4}{3 + x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 + x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (3 + x)}{3 + x} = \frac{7 x}{3 + x} + \frac{4}{3 + x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{7 x}{3 + x} + \frac{4}{3 + x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{7 x + 4}{3 + x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x + 4}{3 + x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{7 x + 4}{3 + x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3 x - 4}{7 - x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{7 (\frac{3 x - 4}{7 - x}) + 4}{3 + \frac{3 x - 4}{7 - x}}$

Schritt 5.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{7 (\frac{3 x - 4}{7 - x}) + 4}{3 + \frac{3 x - 4}{7 - x}}$

Schritt 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $7 - x$ .

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{7 \frac{3 x - 4}{7 - x} + 4}{3 + \frac{3 x - 4}{7 - x}}$ mit $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{7 - x}{7 - x} \cdot \frac{7 (\frac{3 x - 4}{7 - x}) + 4}{3 + \frac{3 x - 4}{7 - x}}$

Schritt 5.2.4.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (7 (\frac{3 x - 4}{7 - x}) + 4)}{(7 - x) (3 + \frac{3 x - 4}{7 - x})}$

Schritt 5.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (7 (\frac{3 x - 4}{7 - x})) + (7 - x) \cdot 4}{(7 - x) \cdot 3 + (7 - x) (\frac{3 x - 4}{7 - x})}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 - x$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (7 (\frac{3 x - 4}{7 - x})) + (7 - x) \cdot 4}{(7 - x) \cdot 3 + (7 - x) (\frac{3 x - 4}{7 - x})}$

Schritt 5.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (7 (\frac{3 x - 4}{7 - x})) + (7 - x) \cdot 4}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.7.1

Faktorisiere $7 - x$ aus $(7 - x) \cdot 7 \frac{3 x - 4}{7 - x} + (7 - x) \cdot 4$ heraus.

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Schritt 5.2.7.1.1

Faktorisiere $7 - x$ aus $(7 - x) \cdot 7 \frac{3 x - 4}{7 - x}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (7 (\frac{3 x - 4}{7 - x})) + (7 - x) \cdot 4}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7.1.2

Faktorisiere $7 - x$ aus $(7 - x) \cdot 4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (7 (\frac{3 x - 4}{7 - x})) + (7 - x) (4)}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7.1.3

Faktorisiere $7 - x$ aus $(7 - x) (7 \frac{3 x - 4}{7 - x}) + (7 - x) (4)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (7 (\frac{3 x - 4}{7 - x}) + 4)}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7.2

Kombiniere $7$ und $\frac{3 x - 4}{7 - x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{7 (3 x - 4)}{7 - x} + 4)}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7.3

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{7 (3 x - 4)}{7 - x} + \frac{4 (7 - x)}{7 - x})}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{7 (3 x - 4) + 4 (7 - x)}{7 - x})}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7.5

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{7 (3 x - 4) + 4 (7 - x)}{- x + 7})}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7.6

Schreibe $\frac{7 (3 x - 4) + 4 (7 - x)}{- x + 7}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.7.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{7 (3 x) + 7 \cdot - 4 + 4 (7 - x)}{- x + 7})}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{21 x + 7 \cdot - 4 + 4 (7 - x)}{- x + 7})}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7.6.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{21 x - 28 + 4 (7 - x)}{- x + 7})}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{21 x - 28 + 4 \cdot 7 + 4 (- x)}{- x + 7})}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7.6.5

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{21 x - 28 + 28 + 4 (- x)}{- x + 7})}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7.6.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{21 x - 28 + 28 - 4 x}{- x + 7})}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7.6.7

Subtrahiere $4 x$ von $21 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{17 x - 28 + 28}{- x + 7})}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7.6.8

Addiere $- 28$ und $28$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{17 x + 0}{- x + 7})}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.7.6.9

Addiere $17 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{17 x}{- x + 7})}{(7 - x) \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{17 x}{- x + 7})}{7 \cdot 3 - x \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.8.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{17 x}{- x + 7})}{21 - x \cdot 3 + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{17 x}{- x + 7})}{21 - 3 x + 3 x - 4}$

Schritt 5.2.8.4

Subtrahiere $4$ von $21$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{17 x}{- x + 7})}{- 3 x + 3 x + 17}$

Schritt 5.2.8.5

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{17 x}{- x + 7})}{0 + 17}$

Schritt 5.2.8.6

Addiere $0$ und $17$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{(7 - x) (\frac{17 x}{- x + 7})}{17}$

Schritt 5.2.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.9.1

Faktorisiere $\frac{17 x}{- x + 7}$ aus $\frac{(7 - x) \frac{17 x}{- x + 7}}{17}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{17 x}{- x + 7} \cdot \frac{7 - x}{17}$

Schritt 5.2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 5.2.9.2.1

Faktorisiere $17$ aus $17 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{17 (x)}{- x + 7} \cdot \frac{7 - x}{17}$

Schritt 5.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{17 x}{- x + 7} \cdot \frac{7 - x}{17}$

Schritt 5.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{x}{- x + 7} \cdot (7 - x)$

Schritt 5.2.9.3

Mutltipliziere $\frac{x}{- x + 7}$ mit $7 - x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{x (7 - x)}{- x + 7}$

Schritt 5.2.9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7 - x$ und $- x + 7$ .

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Schritt 5.2.9.4.1

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{x (- x + 7)}{- x + 7}$

Schritt 5.2.9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = \frac{x (- x + 7)}{- x + 7}$

Schritt 5.2.9.4.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{7 - x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{7 x + 4}{3 + x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{3 (\frac{7 x + 4}{3 + x}) - 4}{7 - (\frac{7 x + 4}{3 + x})}$

Schritt 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3 + x$ .

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 \frac{7 x + 4}{3 + x} - 4}{7 - \frac{7 x + 4}{3 + x}}$ mit $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{3 + x}{3 + x} \cdot \frac{3 (\frac{7 x + 4}{3 + x}) - 4}{7 - \frac{7 x + 4}{3 + x}}$

Schritt 5.3.3.2

Kombinieren.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (3 (\frac{7 x + 4}{3 + x}) - 4)}{(3 + x) (7 - \frac{7 x + 4}{3 + x})}$

Schritt 5.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (3 (\frac{7 x + 4}{3 + x})) + (3 + x) \cdot - 4}{(3 + x) \cdot 7 + (3 + x) (- \frac{7 x + 4}{3 + x})}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 + x$ .

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Schritt 5.3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7 x + 4}{3 + x}$ in den Zähler.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (3 (\frac{7 x + 4}{3 + x})) + (3 + x) \cdot - 4}{(3 + x) \cdot 7 + (3 + x) (\frac{- (7 x + 4)}{3 + x})}$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (3 (\frac{7 x + 4}{3 + x})) + (3 + x) \cdot - 4}{(3 + x) \cdot 7 + (3 + x) (\frac{- (7 x + 4)}{3 + x})}$

Schritt 5.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (3 (\frac{7 x + 4}{3 + x})) + (3 + x) \cdot - 4}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $3 + x$ aus $(3 + x) \cdot 3 \frac{7 x + 4}{3 + x} + (3 + x) \cdot - 4$ heraus.

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Schritt 5.3.6.1.1

Faktorisiere $3 + x$ aus $(3 + x) \cdot 3 \frac{7 x + 4}{3 + x}$ heraus.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (3 (\frac{7 x + 4}{3 + x})) + (3 + x) \cdot - 4}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6.1.2

Faktorisiere $3 + x$ aus $(3 + x) \cdot - 4$ heraus.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (3 (\frac{7 x + 4}{3 + x})) + (3 + x) (- 4)}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6.1.3

Faktorisiere $3 + x$ aus $(3 + x) (3 \frac{7 x + 4}{3 + x}) + (3 + x) (- 4)$ heraus.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (3 (\frac{7 x + 4}{3 + x}) - 4)}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6.2

Kombiniere $3$ und $\frac{7 x + 4}{3 + x}$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{3 (7 x + 4)}{3 + x} - 4)}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6.3

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{3 (7 x + 4)}{3 + x} - 4 \cdot \frac{3 + x}{3 + x})}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{3 (7 x + 4)}{3 + x} + \frac{- 4 (3 + x)}{3 + x})}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{3 (7 x + 4) - 4 (3 + x)}{3 + x})}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6.6

Stelle die Terme um.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{3 (7 x + 4) - 4 (3 + x)}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6.7

Schreibe $\frac{3 (7 x + 4) - 4 (3 + x)}{x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.6.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{3 (7 x) + 3 \cdot 4 - 4 (3 + x)}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6.7.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{21 x + 3 \cdot 4 - 4 (3 + x)}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{21 x + 12 - 4 (3 + x)}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{21 x + 12 - 4 \cdot 3 - 4 x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6.7.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{21 x + 12 - 12 - 4 x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6.7.6

Subtrahiere $4 x$ von $21 x$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{17 x + 12 - 12}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6.7.7

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{17 x + 0}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.6.7.8

Addiere $17 x$ und $0$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{17 x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{17 x}{x + 3})}{3 \cdot 7 + x \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{17 x}{x + 3})}{21 + x \cdot 7 - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.7.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{17 x}{x + 3})}{21 + 7 \cdot x - (7 x + 4)}$

Schritt 5.3.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{17 x}{x + 3})}{21 + 7 x - (7 x) - 1 \cdot 4}$

Schritt 5.3.7.5

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{17 x}{x + 3})}{21 + 7 x - 7 x - 1 \cdot 4}$

Schritt 5.3.7.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{17 x}{x + 3})}{21 + 7 x - 7 x - 4}$

Schritt 5.3.7.7

Subtrahiere $4$ von $21$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{17 x}{x + 3})}{7 x - 7 x + 17}$

Schritt 5.3.7.8

Subtrahiere $7 x$ von $7 x$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{17 x}{x + 3})}{0 + 17}$

Schritt 5.3.7.9

Addiere $0$ und $17$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{(3 + x) (\frac{17 x}{x + 3})}{17}$

Schritt 5.3.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.8.1

Faktorisiere $\frac{17 x}{x + 3}$ aus $\frac{(3 + x) \frac{17 x}{x + 3}}{17}$ heraus.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{17 x}{x + 3} \cdot \frac{3 + x}{17}$

Schritt 5.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 5.3.8.2.1

Faktorisiere $17$ aus $17 x$ heraus.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{17 (x)}{x + 3} \cdot \frac{3 + x}{17}$

Schritt 5.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{17 x}{x + 3} \cdot \frac{3 + x}{17}$

Schritt 5.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{x}{x + 3} \cdot (3 + x)$

Schritt 5.3.8.3

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 3}$ mit $3 + x$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{x (3 + x)}{x + 3}$

Schritt 5.3.8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 + x$ und $x + 3$ .

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Schritt 5.3.8.4.1

Stelle die Terme um.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{x (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 5.3.8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = \frac{x (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 5.3.8.4.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{7 x + 4}{3 + x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{7 x + 4}{3 + x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3 x - 4}{7 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x + 4}{3 + x}$