Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 2}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 2}$ als Gleichung.

$y = \frac{2 x - 1}{x - 2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2 y - 1}{y - 2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 y - 1}{y - 2} = x$ um.

$\frac{2 y - 1}{y - 2} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y - 2, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y - 2, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y - 2$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 y - 1}{y - 2} = x$ mit $y - 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 y - 1}{y - 2} = x$ mit $y - 2$ .

$\frac{2 y - 1}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y - 1}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y - 1 = x (y - 2)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y - 1 = x y + x \cdot - 2$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 y - 1 = x y - 2 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y - 1 - x y = - 2 x$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y - x y = - 2 x + 1$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $2 y - x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y \cdot 2 - x y = - 2 x + 1$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot 2 + y (- x) = - 2 x + 1$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 2 + y (- x)$ heraus.

$y (2 - x) = - 2 x + 1$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (2 - x) = - 2 x + 1$ durch $2 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (2 - x) = - 2 x + 1$ durch $2 - x$ .

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{- 2 x}{2 - x} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{- 2 x}{2 - x} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 2 x}{2 - x} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 2 x + 1}{2 - x}$

Schritt 3.4.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \frac{- (2 x) + 1}{2 - x}$

Schritt 3.4.4.3.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y = \frac{- (2 x) - 1 (- 1)}{2 - x}$

Schritt 3.4.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{- (2 x - 1)}{2 - x}$

Schritt 3.4.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.4.3.5.1

Schreibe $- (2 x - 1)$ als $- 1 (2 x - 1)$ um.

$y = \frac{- 1 (2 x - 1)}{2 - x}$

Schritt 3.4.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 x - 1}{2 - x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x - 1}{2 - x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x - 1}{2 - x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 2}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{2 (\frac{2 x - 1}{x - 2}) - 1}{2 - (\frac{2 x - 1}{x - 2})}$

Schritt 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 \frac{2 x - 1}{x - 2} - 1}{2 - \frac{2 x - 1}{x - 2}}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - (\frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{2 (\frac{2 x - 1}{x - 2}) - 1}{2 - \frac{2 x - 1}{x - 2}})$

Schritt 5.2.3.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{2 x - 1}{x - 2}) - 1)}{(x - 2) (2 - \frac{2 x - 1}{x - 2})}$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{2 x - 1}{x - 2})) + (x - 2) \cdot - 1}{(x - 2) \cdot 2 + (x - 2) (- \frac{2 x - 1}{x - 2})}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 5.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x - 1}{x - 2}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{2 x - 1}{x - 2})) + (x - 2) \cdot - 1}{(x - 2) \cdot 2 + (x - 2) (\frac{- (2 x - 1)}{x - 2})}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{2 x - 1}{x - 2})) + (x - 2) \cdot - 1}{(x - 2) \cdot 2 + (x - 2) (\frac{- (2 x - 1)}{x - 2})}$

Schritt 5.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{2 x - 1}{x - 2})) + (x - 2) \cdot - 1}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) \cdot 2 \frac{2 x - 1}{x - 2} + (x - 2) \cdot - 1$ heraus.

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Schritt 5.2.6.1.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) \cdot 2 \frac{2 x - 1}{x - 2}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{2 x - 1}{x - 2})) + (x - 2) \cdot - 1}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.6.1.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) \cdot - 1$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{2 x - 1}{x - 2})) + (x - 2) (- 1)}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.6.1.3

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (2 \frac{2 x - 1}{x - 2}) + (x - 2) (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{2 x - 1}{x - 2}) - 1)}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.6.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2 x - 1}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{2 (2 x - 1)}{x - 2} - 1)}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.6.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{2 (2 x - 1)}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.6.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{2 (2 x - 1)}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{2 (2 x - 1) - (x - 2)}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.6.6

Schreibe $\frac{2 (2 x - 1) - (x - 2)}{x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.6.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - (x - 2)}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{4 x + 2 \cdot - 1 - (x - 2)}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.6.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{4 x - 2 - (x - 2)}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.6.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{4 x - 2 - x + 2}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.6.6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{4 x - 2 - x + 2}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.6.6.6

Subtrahiere $x$ von $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{3 x - 2 + 2}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.6.6.7

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 0}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.6.6.8

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{x \cdot 2 - 2 \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{2 \cdot x - 2 \cdot 2 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.7.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{2 \cdot x - 4 - (2 x - 1)}$

Schritt 5.2.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{2 x - 4 - (2 x) + 1}$

Schritt 5.2.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{2 x - 4 - 2 x + 1}$

Schritt 5.2.7.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{2 x - 4 - 2 x + 1}$

Schritt 5.2.7.7

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{0 - 4 + 1}$

Schritt 5.2.7.8

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{- 4 + 1}$

Schritt 5.2.7.9

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{- 3}$

Schritt 5.2.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.8.1

Faktorisiere $\frac{3 x}{x - 2}$ aus $\frac{(x - 2) \frac{3 x}{x - 2}}{- 3}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - (\frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{- 3})$

Schritt 5.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - (\frac{3 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{- 3})$

Schritt 5.2.8.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - (\frac{3 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3 (- 1)})$

Schritt 5.2.8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - (\frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3 \cdot - 1})$

Schritt 5.2.8.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - (\frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{- 1})$

Schritt 5.2.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 5.2.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - (\frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{- 1})$

Schritt 5.2.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - (x (\frac{1}{- 1}))$

Schritt 5.2.8.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - \frac{x}{- 1}$

Schritt 5.2.8.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.8.5.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = - (- 1 \cdot x)$

Schritt 5.2.8.5.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{2 x - 1}{2 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{2 (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) - 1}{(- \frac{2 x - 1}{2 - x}) - 2}$

Schritt 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2 - x$ .

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) - 1}{- \frac{2 x - 1}{2 - x} - 2}$ mit $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{2 - x}{2 - x} \cdot \frac{2 (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) - 1}{- \frac{2 x - 1}{2 - x} - 2}$

Schritt 5.3.3.2

Kombinieren.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (2 (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) - 1)}{(2 - x) (- \frac{2 x - 1}{2 - x} - 2)}$

Schritt 5.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (2 (- \frac{2 x - 1}{2 - x})) + (2 - x) \cdot - 1}{(2 - x) (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - x$ .

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Schritt 5.3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x - 1}{2 - x}$ in den Zähler.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (2 (- \frac{2 x - 1}{2 - x})) + (2 - x) \cdot - 1}{(2 - x) (\frac{- (2 x - 1)}{2 - x}) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (2 (- \frac{2 x - 1}{2 - x})) + (2 - x) \cdot - 1}{(2 - x) (\frac{- (2 x - 1)}{2 - x}) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (2 (- \frac{2 x - 1}{2 - x})) + (2 - x) \cdot - 1}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $2 - x$ aus $(2 - x) \cdot 2 (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) + (2 - x) \cdot - 1$ heraus.

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Schritt 5.3.6.1.1

Faktorisiere $2 - x$ aus $(2 - x) \cdot 2 (- \frac{2 x - 1}{2 - x})$ heraus.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (2 (- \frac{2 x - 1}{2 - x})) + (2 - x) \cdot - 1}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.1.2

Faktorisiere $2 - x$ aus $(2 - x) \cdot - 1$ heraus.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (2 (- \frac{2 x - 1}{2 - x})) + (2 - x) (- 1)}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.1.3

Faktorisiere $2 - x$ aus $(2 - x) (2 (- \frac{2 x - 1}{2 - x})) + (2 - x) (- 1)$ heraus.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (2 (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) - 1)}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.2

Multipliziere $2 (- \frac{2 x - 1}{2 - x})$ .

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Schritt 5.3.6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (- 2 \frac{2 x - 1}{2 - x} - 1)}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2 x - 1}{2 - x}$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (\frac{- 2 (2 x - 1)}{2 - x} - 1)}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (- \frac{(2) (2 x - 1)}{2 - x} - 1)}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (- \frac{2 (2 x - 1)}{2 - x} - 1 \cdot \frac{2 - x}{2 - x})}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (- \frac{2 (2 x - 1)}{2 - x} + \frac{- (2 - x)}{2 - x})}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (\frac{- 2 (2 x - 1) - (2 - x)}{2 - x})}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.7

Schreibe $\frac{- 2 (2 x - 1) - (2 - x)}{2 - x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.6.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 (2 x - 1) - (2 - x)$ heraus.

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Schritt 5.3.6.7.1.1

Stelle $2$ und $- x$ um.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (\frac{- 2 (2 x - 1) - (- x + 2)}{2 - x})}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 (2 x - 1)$ heraus.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (\frac{- (2 (2 x - 1)) - (- x + 2)}{2 - x})}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.7.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 (2 x - 1)) - (- x + 2)$ heraus.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (\frac{- (2 (2 x - 1) - x + 2)}{2 - x})}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (\frac{- (2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - x + 2)}{2 - x})}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (\frac{- (4 x + 2 \cdot - 1 - x + 2)}{2 - x})}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (\frac{- (4 x - 2 - x + 2)}{2 - x})}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.7.5

Subtrahiere $x$ von $4 x$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (\frac{- (3 x - 2 + 2)}{2 - x})}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.7.6

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (\frac{- (3 x + 0)}{2 - x})}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.7.7

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (\frac{- 1 \cdot (3 x)}{2 - x})}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.7.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (\frac{- 3 x}{2 - x})}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (- \frac{(3) x}{2 - x})}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.9

Entferne unnötige Klammern.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{(2 - x) \cdot (- 1 \frac{3 x}{2 - x})}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.6.10

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{- (2 - x) \frac{3 x}{2 - x}}{- (2 x - 1) + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{- (2 - x) \frac{3 x}{2 - x}}{- (2 x) + 1 + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{- (2 - x) \frac{3 x}{2 - x}}{- 2 x + 1 + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{- (2 - x) \frac{3 x}{2 - x}}{- 2 x + 1 + (2 - x) \cdot - 2}$

Schritt 5.3.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{- (2 - x) \frac{3 x}{2 - x}}{- 2 x + 1 + 2 \cdot - 2 - x \cdot - 2}$

Schritt 5.3.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{- (2 - x) \frac{3 x}{2 - x}}{- 2 x + 1 - 4 - x \cdot - 2}$

Schritt 5.3.7.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{- (2 - x) \frac{3 x}{2 - x}}{- 2 x + 1 - 4 + 2 x}$

Schritt 5.3.7.7

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{- (2 - x) \frac{3 x}{2 - x}}{0 + 1 - 4}$

Schritt 5.3.7.8

Addiere $0$ und $1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{- (2 - x) \frac{3 x}{2 - x}}{1 - 4}$

Schritt 5.3.7.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{- (2 - x) \frac{3 x}{2 - x}}{- 3}$

Schritt 5.3.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.8.1

Faktorisiere $\frac{3 x}{2 - x}$ aus $\frac{- (2 - x) \frac{3 x}{2 - x}}{- 3}$ heraus.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{3 x}{2 - x} \cdot \frac{- (2 - x)}{- 3}$

Schritt 5.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{3 (x)}{2 - x} \cdot \frac{- (2 - x)}{- 3}$

Schritt 5.3.8.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{3 (x)}{2 - x} \cdot \frac{- (2 - x)}{3 (- 1)}$

Schritt 5.3.8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{3 x}{2 - x} \cdot \frac{- (2 - x)}{3 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.8.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{- (2 - x)}{- 1}$

Schritt 5.3.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - x$ .

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Schritt 5.3.8.3.1

Faktorisiere $2 - x$ aus $- (2 - x)$ heraus.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{(2 - x) \cdot - 1}{- 1}$

Schritt 5.3.8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{(2 - x) \cdot - 1}{- 1}$

Schritt 5.3.8.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = x (\frac{- 1}{- 1})$

Schritt 5.3.8.4

Kombiniere $x$ und $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = \frac{x \cdot - 1}{- 1}$

Schritt 5.3.8.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.8.5.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x \cdot - 1}{- 1}$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = - 1 \cdot (x \cdot - 1)$

Schritt 5.3.8.5.2

Schreibe $- 1 \cdot (x \cdot - 1)$ als $- (x \cdot - 1)$ um.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = - (x \cdot - 1)$

Schritt 5.3.8.5.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = - (- 1 \cdot x)$

Schritt 5.3.8.5.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f (- \frac{2 x - 1}{2 - x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x - 1}{2 - x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x - 1}{2 - x}$