Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{10}{x - 5}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{10}{x - 5}$ als Gleichung.

$y = \frac{10}{x - 5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{10}{y - 5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{10}{y - 5} = x$ um.

$\frac{10}{y - 5} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y - 5, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y - 5, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y - 5$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{10}{y - 5} = x$ mit $y - 5$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{10}{y - 5} = x$ mit $y - 5$ .

$\frac{10}{y - 5} (y - 5) = x (y - 5)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10}{y - 5} (y - 5) = x (y - 5)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$10 = x (y - 5)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 = x y + x \cdot - 5$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$10 = x y - 5 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $x y - 5 x = 10$ um.

$x y - 5 x = 10$

Schritt 3.4.2

Addiere $5 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y = 10 + 5 x$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $x y = 10 + 5 x$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 10 + 5 x$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{10}{x} + \frac{5 x}{x}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{10}{x} + \frac{5 x}{x}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{10}{x} + \frac{5 x}{x}$

Schritt 3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{10}{x} + \frac{5 x}{x}$

Schritt 3.4.3.3.1.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$y = \frac{10}{x} + 5$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{10}{x} + 5$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{10}{x} + 5$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{10}{x - 5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{10}{x - 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = \frac{10}{\frac{10}{x - 5}} + 5$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = 10 (\frac{x - 5}{10}) + 5$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = 10 (\frac{x - 5}{10}) + 5$

Schritt 5.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = x - 5 + 5$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{10}{x} + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{10}{(\frac{10}{x} + 5) - 5}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $(\frac{10}{x} + 5) - 5$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 (2)}{(\frac{10}{x} + 5) - 5}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $\frac{10}{x}$ heraus.

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 \cdot 2}{5 (\frac{2}{x}) + 5 - 5}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 (2)}{5 (\frac{2}{x}) + 5 \cdot 1 - 5}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 \frac{2}{x} + 5 \cdot 1$ heraus.

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 (2)}{5 (\frac{2}{x} + 1) - 5}$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 \cdot 2}{5 (\frac{2}{x} + 1) + 5 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.3.2.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (\frac{2}{x} + 1) + 5 (- 1)$ heraus.

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 (2)}{5 (\frac{2}{x} + 1 - 1)}$

Schritt 5.3.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 \cdot 2}{5 (\frac{2}{x} + 1 - 1)}$

Schritt 5.3.3.2.7

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 1 - 1}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 0}$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $\frac{2}{x}$ und $0$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{10}{x} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{10}{x} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{10}{x} + 5) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{10}{x} + 5$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{10}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{10}{x} + 5$