Finite Mathematik Beispiele

$y = \sqrt{4 x} - 2$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{4 y} - 2$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{4 y} - 2 = x$ um.

$\sqrt{4 y} - 2 = x$

Schritt 2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{4 y} = x + 2$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{4 y}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 y}$ als ${(4 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 y)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$4 y = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$4 y = (x + 2) (x + 2)$

Schritt 2.4.3.1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 y = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.3.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 y = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Schritt 2.4.3.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$4 y = x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{2} + 4 x + 4$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{2} + 4 x + 4$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 2.5.3.1.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + x + \frac{4}{4}$

Schritt 2.5.3.1.2

Dividiere $4$ durch $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{4 x} - 2$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(\sqrt{4 x} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(\sqrt{4 x} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x}$ als ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.1.2

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(4^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.1.6

Berechne den Exponenten.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}} - 2$ heraus.

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Schritt 4.2.4.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}}) - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 1))}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.1.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}} - 1))}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.1.8

Wende die Produktregel auf $2 (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ an.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{2^{2} {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.3

Dividiere ${(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.4

Schreibe ${(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ als $(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ um.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = (x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.5

Multipliziere $(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) - 1 (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.4.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.6.1.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.4.6.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.6.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.6.1.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.6.1.1.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.6.1.2

Vereinfache $x^{1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.6.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.6.1.4

Schreibe $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ als $- x^{\frac{1}{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.6.1.5

Schreibe $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ als $- x^{\frac{1}{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.6.2

Subtrahiere $x^{\frac{1}{2}}$ von $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{2^{2} x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.4.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2 \sqrt{x} - 2 + 1$

Schritt 4.2.5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1$

Schritt 4.2.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 0 + 2 \sqrt{x}$

Schritt 4.2.5.2.2

Addiere $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + x + 1)} - 2$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.3.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{2^{2}} + x + 1)} - 2$

Schritt 4.3.3.1.2

Schreibe $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{x}{2})}^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + x + 1)} - 2$

Schritt 4.3.3.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + x + 1^{2})} - 2$

Schritt 4.3.3.1.4

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$x = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1$

Schritt 4.3.3.1.5

Schreibe das Polynom neu.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1 + 1^{2})} - 2$

Schritt 4.3.3.1.6

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = \frac{x}{2}$ und $b = 1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x}{2} + 1)}^{2}} - 2$

Schritt 4.3.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x}{2} + \frac{2}{2})}^{2}} - 2$

Schritt 4.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x + 2}{2})}^{2}} - 2$

Schritt 4.3.3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{x + 2}{2}$ an.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{2^{2}})} - 2$

Schritt 4.3.3.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{4})} - 2$

Schritt 4.3.3.6

Kombiniere $4$ und $\frac{{(x + 2)}^{2}}{4}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}} - 2$

Schritt 4.3.3.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.7.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}} - 2$

Schritt 4.3.3.7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{{(x + 2)}^{2}}{1}} - 2$

Schritt 4.3.3.7.2

Dividiere ${(x + 2)}^{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{{(x + 2)}^{2}} - 2$

Schritt 4.3.3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x + 2 - 2$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{4 x} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$