Finite Mathematik Beispiele

$x y + 2 y = 1$

Schritt 1

Faktorisiere $y$ aus $x y + 2 y$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y x + 2 y = 1$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y x + y \cdot 2 = 1$

Schritt 1.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot 2$ heraus.

$y (x + 2) = 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 2) = 1$ durch $x + 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 2) = 1$ durch $x + 2$ .

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{x + 2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{x + 2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{x + 2}$

Schritt 3

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{y + 2}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{y + 2} = x$ um.

$\frac{1}{y + 2} = x$

Schritt 4.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y + 2, 1$

Schritt 4.2.2

Entferne die Klammern.

$y + 2, 1$

Schritt 4.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y + 2$

Schritt 4.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y + 2} = x$ mit $y + 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y + 2} = x$ mit $y + 2$ .

$\frac{1}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Schritt 4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = x (y + 2)$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = x y + x \cdot 2$

Schritt 4.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$1 = x y + 2 x$

Schritt 4.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Schreibe die Gleichung als $x y + 2 x = 1$ um.

$x y + 2 x = 1$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y = 1 - 2 x$

Schritt 4.4.3

Teile jeden Ausdruck in $x y = 1 - 2 x$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 1 - 2 x$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 4.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 4.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 4.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 4.4.3.3.1.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{x} - 2$

Schritt 5

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 2$

Schritt 6

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{x + 2}$ ist.

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Schritt 6.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 6.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 6.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 6.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{x + 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 2}) = \frac{1}{\frac{1}{x + 2}} - 2$

Schritt 6.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 2}) = 1 (x + 2) - 2$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 2}) = x + 2 - 2$

Schritt 6.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 6.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 2}) = x + 0$

Schritt 6.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 2}) = x$

Schritt 6.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 6.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 6.3.2

Berechne $f (\frac{1}{x} - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{x} - 2) = \frac{1}{(\frac{1}{x} - 2) + 2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.3.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (\frac{1}{x} - 2) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Schritt 6.3.3.2

Addiere $\frac{1}{x}$ und $0$ .

$f (\frac{1}{x} - 2) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 6.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{1}{x} - 2) = 1 x$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{x} - 2) = x$

Schritt 6.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 2$