Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} - 144 x$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2 x^{3} - 15 x^{2} - 144 x$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{3} - 15 x^{2} - 144 x = 0$ um.

$2 x^{3} - 15 x^{2} - 144 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3} - 15 x^{2} - 144 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$x (2 x^{2}) - 15 x^{2} - 144 x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 15 x^{2}$ heraus.

$x (2 x^{2}) + x (- 15 x) - 144 x = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 144 x$ heraus.

$x (2 x^{2}) + x (- 15 x) + x \cdot - 144 = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{2}) + x (- 15 x)$ heraus.

$x (2 x^{2} - 15 x) + x \cdot - 144 = 0$

Schritt 1.2.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{2} - 15 x) + x \cdot - 144$ heraus.

$x (2 x^{2} - 15 x - 144) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 15 x - 144 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $2 x^{2} - 15 x - 144$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $2 x^{2} - 15 x - 144$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 15 x - 144 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $2 x^{2} - 15 x - 144 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 15$ und $c = - 144$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 144)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1

Potenziere $- 15$ mit $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 2 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 144$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 8 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 144$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 1152}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.3

Addiere $225$ und $1152$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{1377}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.4

Schreibe $1377$ als $9^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $81$ aus $1377$ heraus.

$x = \frac{15 \pm \sqrt{81 (17)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.4.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x = \frac{15 \pm \sqrt{9^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.4.1.1

Potenziere $- 15$ mit $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 2 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 144$ .

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Schritt 1.2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 8 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 144$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 1152}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.3

Addiere $225$ und $1152$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{1377}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.4

Schreibe $1377$ als $9^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 1.2.5.2.4.1.4.1

Faktorisiere $81$ aus $1377$ heraus.

$x = \frac{15 \pm \sqrt{81 (17)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.4.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x = \frac{15 \pm \sqrt{9^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{15 + 9 \sqrt{17}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.5.1.1

Potenziere $- 15$ mit $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 2 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 144$ .

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Schritt 1.2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 8 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 144$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 1152}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.3

Addiere $225$ und $1152$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{1377}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.4

Schreibe $1377$ als $9^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 1.2.5.2.5.1.4.1

Faktorisiere $81$ aus $1377$ heraus.

$x = \frac{15 \pm \sqrt{81 (17)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.4.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x = \frac{15 \pm \sqrt{9^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{15 - 9 \sqrt{17}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{15 + 9 \sqrt{17}}{4}, \frac{15 - 9 \sqrt{17}}{4}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2 x^{2} - 15 x - 144) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{15 + 9 \sqrt{17}}{4}, \frac{15 - 9 \sqrt{17}}{4}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\frac{15 + 9 \sqrt{17}}{4}, 0), (\frac{15 - 9 \sqrt{17}}{4}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2 {(0)}^{3} - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 15 \cdot 0^{2} - 144 \cdot 0$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 2 {(0)}^{3} - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $2 {(0)}^{3} - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 15 \cdot 0 - 144 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 144 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.5

Mutltipliziere $- 144$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\frac{15 + 9 \sqrt{17}}{4}, 0), (\frac{15 - 9 \sqrt{17}}{4}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4