Finite Mathematik Beispiele

$y = - 2 x^{2} + 10 x$

Schritt 1

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{10}{2 (- 2)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{10}{2 (- 2)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{10}{2 (- 2)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 2$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 (- 2)}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{5}{- 2}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{5}{2}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $- - \frac{5}{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (\frac{5}{2})$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (\frac{5}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 {(\frac{5}{2})}^{2} + 10 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 10 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \frac{25}{2^{2}} + 10 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 (\frac{25}{4}) + 10 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{5}{2}) = 2 (- 1) (\frac{25}{4}) + 10 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{25}{2 \cdot 2}) + 10 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{25}{2 \cdot 2}) + 10 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{2}) = - 1 (\frac{25}{2}) + 10 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.2.1.5

Schreibe $- 1 (\frac{25}{2})$ als $- (\frac{25}{2})$ um.

$f (\frac{5}{2}) = - (\frac{25}{2}) + 10 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 2 (5) (\frac{5}{2})$

Schritt 3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 2 \cdot (5 (\frac{5}{2}))$

Schritt 3.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 5 \cdot 5$

Schritt 3.2.1.7

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 25$

Schritt 3.2.2

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $25$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 25 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 50}{2}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $- 25$ und $50$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{25}{2}$ .

$\frac{25}{2}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(\frac{5}{2}, \frac{25}{2})$

Schritt 5