Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = - 4 x^{2} + 60 x - 122$

Schritt 1

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{60}{2 (- 4)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{60}{2 (- 4)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{60}{2 (- 4)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $60$ und $2$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $60$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot 30}{2 \cdot - 4}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot 30}{2 (- 4)}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot 30}{2 \cdot - 4}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{30}{- 4}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $- 4$ .

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$x = - \frac{2 (15)}{- 4}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{15}{- 2}$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{15}{2}$

Schritt 2.3.4

Multipliziere $- - \frac{15}{2}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (\frac{15}{2})$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{15}{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{15}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (\frac{15}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = - 4 {(\frac{15}{2})}^{2} + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{15}{2}$ an.

$f (\frac{15}{2}) = - 4 \frac{15^{2}}{2^{2}} + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = - 4 \frac{225}{2^{2}} + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = - 4 (\frac{225}{4}) + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (\frac{15}{2}) = 4 (- 1) (\frac{225}{4}) + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Schritt 3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{15}{2}) = 4 \cdot (- 1 (\frac{225}{4})) + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Schritt 3.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{15}{2}) = - 1 \cdot 225 + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Schritt 3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $225$ .

$f (\frac{15}{2}) = - 225 + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $60$ heraus.

$f (\frac{15}{2}) = - 225 + 2 (30) (\frac{15}{2}) - 122$

Schritt 3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{15}{2}) = - 225 + 2 \cdot (30 (\frac{15}{2})) - 122$

Schritt 3.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{15}{2}) = - 225 + 30 \cdot 15 - 122$

Schritt 3.2.1.7

Mutltipliziere $30$ mit $15$ .

$f (\frac{15}{2}) = - 225 + 450 - 122$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $- 225$ und $450$ .

$f (\frac{15}{2}) = 225 - 122$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $122$ von $225$ .

$f (\frac{15}{2}) = 103$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $103$ .

$103$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(\frac{15}{2}, 103)$

Schritt 5