Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 4 x^{2} + 5 x - 6$

Schritt 1

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{5}{2 (4)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{5}{2 (4)}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = - \frac{5}{8}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{5}{8})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{5}{8}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 {(- \frac{5}{8})}^{2} + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{8}$ an.

$f (- \frac{5}{8}) = 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{8})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{8}$ an.

$f (- \frac{5}{8}) = 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{8^{2}})) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (1 (\frac{5^{2}}{8^{2}})) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{8^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{5^{2}}{8^{2}}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{8^{2}}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Schritt 3.2.1.5

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{64}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{4 (16)}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Schritt 3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{4 \cdot 16}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Schritt 3.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Schritt 3.2.1.7

Multipliziere $5 (- \frac{5}{8})$ .

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Schritt 3.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - 5 (\frac{5}{8}) - 6$

Schritt 3.2.1.7.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{5}{8}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} + \frac{- 5 \cdot 5}{8} - 6$

Schritt 3.2.1.7.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} + \frac{- 25}{8} - 6$

Schritt 3.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25}{8} - 6$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{25}{8}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - (\frac{25}{8} \cdot \frac{2}{2}) - 6$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{25}{8}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} - 6$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $- 6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{- 6}{1}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{- 6 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.2.2.6

Stelle die Faktoren von $8 \cdot 2$ um.

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 8} + \frac{- 6 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{16} + \frac{- 6 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 6 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $- 25$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25 - 50 - 6 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $16$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25 - 50 - 96}{16}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.5.1

Subtrahiere $50$ von $25$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{- 25 - 96}{16}$

Schritt 3.2.5.2

Subtrahiere $96$ von $- 25$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{- 121}{16}$

Schritt 3.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{5}{8}) = - \frac{121}{16}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{121}{16}$ .

$- \frac{121}{16}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(- \frac{5}{8}, - \frac{121}{16})$

Schritt 5