Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = - 3 + 3 x + x^{2}$

Schritt 1

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{3}{2 (1)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{3}{2 (1)}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 + 3 (- \frac{3}{2}) + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $3 (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - 3 (\frac{3}{2}) + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 + \frac{- 9}{2} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Schritt 3.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + \frac{9}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + \frac{9}{4}$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $- 3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{1} - \frac{9}{2} + \frac{9}{4}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{2} + \frac{9}{4}$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 4}{4} - \frac{9}{2} + \frac{9}{4}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 4}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{9}{4}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 4}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 4}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 4 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 - 18 + 9}{4}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.5.1

Subtrahiere $18$ von $- 12$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 30 + 9}{4}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $- 30$ und $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 21}{4}$

Schritt 3.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{21}{4}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{21}{4}$ .

$- \frac{21}{4}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{21}{4})$

Schritt 5