Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Schritt 1

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{2}{2 (- 2)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{2}{2 (- 2)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{2}{2 (- 2)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{1}{- 2}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (\frac{1}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1}{2^{2}} + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{4}) + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (- 1) (\frac{1}{4}) + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 3.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 (\frac{1}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 3.2.1.5

Schreibe $- 1 (\frac{1}{2})$ als $- (\frac{1}{2})$ um.

$f (\frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 3.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 1 + 4$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{1}{1} + 4$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2} + 4$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + 4$

Schritt 3.2.2.4

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{4}{1}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 2 + 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 2 + 8}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 + 8}{2}$

Schritt 3.2.4.3

Addiere $1$ und $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{2}$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(\frac{1}{2}, \frac{9}{2})$

Schritt 5